Según los comentarios a la pregunta original, supondremos que * es una función en G x G con codominio H (G, H son simplemente algunos conjuntos en este punto). Es decir, dados dos elementos ayb de G, podemos formar a * b, que vive en H. Ahora, queremos ver si podemos encontrar análogos de asociatividad, la propiedad de identidad de los grupos y la propiedad inversa de los grupos. .
- Asociatividad: para que esto funcione, en realidad necesitamos extender * para que pueda aceptar tanto elementos de G como (ciertos) elementos de H. Queremos pedir que para los 3 elementos a, b, c de G, tengamos (a * b) * c = a * (b * c). Sin embargo, a * b y b * c viven en H, ¡y hemos dicho que el dominio de * es G x G! Esto es como si estuviera tratando de conectar un elemento a una función que no puede aceptarlo (sería como pedir tomar log ((1 2)), donde (1 2) denota la permutación que cambia 1 y 2, que vive en S_n para n mayor o igual que 2. ¡Simplemente no tiene sentido!). Podemos remediar esto exigiendo que H viva dentro de G, pero esto nos da una operación binaria en G.
- Identidad: en la teoría de grupos, usted exige que exista un elemento e de G tal que e * g = g = g * e para cualquier g en G. Si estamos tomando valores en un conjunto no relacionado con G, no podemos realmente Espero una propiedad análoga.
- Inversa: nuevamente, si el codominio de * no está relacionado con G, no podemos esperar recuperar un elemento de identidad de G, ya que no vivirá en el codominio. Quizás podría comenzar con un elemento distinguido h de su codominio H, y exigir que para cada g en G, haya una g ‘en G tal que g * g’ = g ‘* g = h.
Parece que tal vez esta función *: G x G -> H no es realmente lo que queremos ver. En cambio, comencemos con un conjunto antiguo simple H, y un grupo G, y en lugar de considerar una función *: G x G -> H, tomemos una función *: G x H -> H. Ahora seremos un poco más exitoso en la definición de las propiedades sobre las que preguntó.
- Asociatividad: que a, b sean dos elementos de G, y que h sea un elemento de h. Podemos observar las cantidades a * (b * h) y (ab) * h. Si exigiéramos que fueran iguales, ¡sería como asociatividad! Sin embargo, estamos hablando de dos operaciones diferentes aquí: en a * (b * h) usamos * dos veces, pero en (ab) * h primero multiplicamos a y b dentro de G (esto no es * ) y luego aplicamos * . Lo suficientemente cerca, creo.
- Identidad: en G, ya tenemos un elemento de identidad, llamémoslo e. Entonces podemos exigir que se comporte como una identidad no solo en G, sino también en H; es decir, e * h = h para todas las h en H. No hay mucho más que decir aquí.
- Inversa: este podría ser un poco menos obvio. Ya sabemos que si g y g ‘son inversas en G, entonces g * (g’ * h) = (gg ‘) * h = e * h = h de las dos propiedades anteriores. Creo que quizás el análogo más cercano de inversas para este tipo de operación sería el siguiente: que h y h ‘sean dos elementos de H. Entonces, requerimos que exista una g única en G tal que g * h = h’. ¿Por qué estoy llamando esto inverso? Bueno, esto es como ser capaz de invertir los elementos del grupo, en cierto sentido. Si tenemos esta propiedad y g * h = h ‘, podríamos llamar a g la razón de h’ y h, y digamos que definimos h ‘/ h como g. Parece que podemos invertir h: g “=” g * h (h ^ {- 1}) “=” h ‘(h ^ {- 1}) “=” h’ / h. Se sigue por definición que (h ‘/ h) * h = h’ (que parece una cosa inversa, ¿no?
Lo que acabo de describir es en realidad un tipo de objeto bien conocido en matemáticas. Las propiedades 1 y 2 definen lo que se conoce como acción grupal, que es un concepto extremadamente importante que es omnipresente en las matemáticas. Probablemente ya conozca algunos ejemplos de acciones grupales. Por ejemplo, multiplicar un vector de columna con n componentes reales por una matriz real n por n define una acción grupal de GL (n, R ) en R ^ n. Parece que está familiarizado con alguna teoría de grupo: si sabe qué son D_n y S_n (el grupo diédrico de orden 2n y el grupo simétrico en n elementos, respectivamente), probablemente conozca sus acciones: D_n es el grupo de simetrías de un n-gon normal, y si tomas los vértices del n-gon como tu conjunto H, cualquier simetría enviará un elemento de H a otro elemento de H de la forma que esperarías, y este es un grupo ¡acción! Del mismo modo, S_n actúa en cualquier conjunto con n elementos, permutándolos de acuerdo con el elemento específico de S_n elegido (si trabaja con S_3, y toma su elemento como (1 2) y su conjunto como {a, b, c}, entonces (1 2) * a = b, (1 2) * b = a y (1 2) * c = c). La propiedad 3 se llama transitividad simple , y si requiere que su acción grupal sea simplemente transitiva, su H se llama torsor . Ya he ocupado mucho espacio, así que te enviaré a este artículo: torsores. Aquí hay algunos buenos ejemplos de torsores comúnmente vistos, relacionados con el cálculo básico y la física. Aunque el primer intento de generalizar la teoría de grupos no fue tan bueno, este segundo es muy fructífero. Si mantiene los ojos abiertos, ¡probablemente verá acciones grupales en todas partes!
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