Dado que [matemáticas] x> 0, y> 0, xy> L [/ matemáticas]
Podemos suponer [matemáticas] xy = L + d [/ matemáticas], donde [matemáticas] d> 0 [/ matemáticas]
Ahora, tenemos que demostrar que para algunos enteros [math] n> 0 [/ math],
[matemática] L <(x-1 / n) (y-1 / n) <L + d [/ matemática]
[matemáticas] => L <xy- (x + y) / n + 1 / n ^ 2 <L + d [/ matemáticas]
[matemáticas] => L <L + d- (x + y) / n + 1 / n ^ 2 <L + d [/ matemáticas]
[matemáticas] => 0 <d- (x + y) / n + 1 / n ^ 2 <d [/ matemáticas]
Si mostramos que la condición anterior es cierta para algunas [matemáticas] n> 0 [/ matemáticas], entonces nuestro problema está resuelto.
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Se puede escribir como 2 desigualdades:
[matemática] d- (x + y) / n + 1 / n ^ 2 <d [/ matemática] y [matemática] 0 <d- (x + y) / n + 1 / n ^ 2 [/ matemática]
Considerando la primera desigualdad:
[matemáticas] d- (x + y) / n + 1 / n ^ 2 n> 1 / (x + y) [/ matemáticas]
Como [matemática] x> 0, y> 0 [/ matemática], esto implica [matemática] n> = 1 [/ matemática] – eq. 1
Considerando la segunda desigualdad:
[matemáticas] 0 <d- (x + y) / n + 1 / n ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] => 0 <n- (x + y) / d + 1 / nd [/ matemáticas]
[matemáticas] => n> (x + y-1 / n) / d [/ matemáticas]
Lo anterior siempre será válido para [math] n> = \ lceil (x + y) / d \ rceil [/ math] – eq. 2
De la ec. 1 y eq. 2 , está claro que para todos [math] n> = \ lceil (x + y) / d \ rceil [/ math], se cumplen las condiciones anteriores. Por lo tanto, probado.
