Si la integral de dos funciones diferentes son iguales, ¿son iguales sus derivadas?

Esto debería depender del tipo de integral que esté tomando.

Para una integral de Riemann regular (del tipo que aprende en la escuela secundaria / universidad) y las integrales son iguales para cualquier [matemática] x1, x2 [/ matemática], entonces las derivadas de las funciones deben ser iguales, siempre que existan las derivadas ( para algo que sería integrable pero no diferenciable, considere la función Weierstrass – Wikipedia).

Cuando profundiza en el análisis, se entera de un nuevo tipo de integral, la integral de Lebesgue (integración de Lebesgue – Wikipedia). Esto le permite lidiar con algunas funciones extrañas y no continuas. Por ejemplo, considere la función:

[matemática] f (x) = 1 [/ matemática] si x es irracional, [matemática] 0 [/ matemática] si es racional

No puede hacer una integral de Riemann regular, ni puede tomar una derivada, pero bajo una integral de Lebesgue la función actúa exactamente como [math] g (x) = 1 [/ math] (esto se debe al hecho de que hay racionales incontables infinitos, irracionales incontables infinitos).

Si la integral es igual para cualquier elección de [math] x_1, x_2 [/ math], entonces sí (siempre que las funciones sean continuas). Puedes probar esto a partir del Teorema fundamental del cálculo. (Solo arregle [math] x_1 [/ math] y considere [math] x_2 [/ math] como una variable libre. ¿Qué sucede cuando toma una derivada con respecto a [math] x_2 [/ math]?)

Si la integral es igual para alguna elección particular de [matemáticas] x_1, x_2 [/ matemáticas], entonces no, no hay absolutamente ninguna razón para que esto sea cierto.

Como ejemplo simple, [math] \ int_0 ^ {2 \ pi} \ sin (x) \ dx = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ cos (x) \ dx = 0 [/ math].

A partir de la pregunta, interpreto que quiere decir si H1 ′ (x) + H2 ′ (x) = 2H ‘(x) y no H1 (x) + H2 (x) = 2H (x) como en la imagen adjunta .

Tomemos dos funciones y = f (x) e y = g (x). Cuando decimos que la integral de ambas funciones son iguales en el rango, digamos x1 a x2, simplemente significa que el área bajo la curva f (x) yg (x) es la misma en ese rango de x. Algo como esto:

Ahora la forma de la curva roja anterior puede estar muy en el rango de x, es decir, de 20 a 45, dependiendo de la función, pero pueden cubrir la misma área bajo la curva.

Cuando decimos diferenciación de función, simplemente significa la pendiente de la función en varios puntos de x. Algo como esto:

Para que dos funciones tengan la misma pendiente en varios valores de x significa que la función es esencialmente paralela en ese intervalo, es decir, están separadas solo por alguna constante, como esta:

Pero si es así, entonces el área debajo de ellos no permanecerá igual.

Por tanto, la respuesta es no.

Esta pregunta podría ser más simple. ¿Qué se entiende por “integral de dos funciones” en este contexto? Esperemos que no sea una integral definida.

Es trivial encontrar dos funciones que evalúen la misma integral en cualquier intervalo fijo determinado, sin ninguna otra relación significativa que se mantenga entre las dos funciones.

Ahora … si quieres que esta pregunta tenga sentido, lo que debes hacer es: si dos funciones tienen la misma antiderivada, ¿deben tener la misma derivada? Bueno, sí. Y eso es bastante obvio. Si dos funciones f y g tienen la misma anti-derivada, entonces por la definición de anti-derivada, f = g. Entonces obviamente f ‘= g’.

Recuerde que F es la (an) antiderivada de f significa que F ‘= f. Si bien “la” antiderivada no está definida de manera única, su derivada sí lo está.

Muy falso. Si la igualdad se aplicaba a cada finito y también a cada integral indefinida, entonces tal vez. Pero la forma en que lo escribió no se cumple solo eche un vistazo a f (x) = xyg (x) = 0.5 en el intervalo (0,1). La integral es la misma pero las funciones definitivamente no lo son.