En algunos casos si. Por ejemplo, considere una ecuación cuadrática [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática]
Deje que las raíces sean [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas].
Lo sabemos
[matemáticas] x_1 + x_2 = \ frac {-b} {a} [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1 x_2 = \ frac {c} {a} [/ matemáticas]
Ahora defina la diferencia [matemática] \ Delta x [/ matemática] entre las raíces:
[matemáticas]
\ Delta x = x_1 – x_2
[/matemáticas]
Ahora claramente, si intercambiamos las dos raíces [matemática] x_1 [/ matemática] y [matemática] x_2 [/ matemática], entonces [matemática] \ Delta x [/ matemática] cambia de signo.
Sin embargo, si consideramos la diferencia al cuadrado, el cambio de signo se elimina debido a la cuadratura. Por lo tanto tenemos:
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[matemática] (\ Delta x) ^ 2 [/ matemática] no cambia cuando las raíces [matemática] x_1 [/ matemática] y [matemática] x_2 [/ matemática] se intercambian.
Este es un resultado bastante notable y se deduce que [matemática] (\ Delta_) ^ 2 [/ matemática] puede expresarse en términos de los coeficientes originales [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática], y [math] c [/ math] sin necesidad de radicales.
De hecho, se puede demostrar que
[matemáticas] (\ Delta x) ^ 2 [/ matemáticas]
= [matemáticas] (x_1-x_2) ^ 2 [/ matemáticas]
= [matemáticas] (x_1 + x_2) ^ 2-4x_1x_2 [/ matemáticas]
= [matemáticas] (\ frac {-b} {a}) ^ 2-4 \ frac {c} {a} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ frac {b ^ 2-4ac} {a ^ 2} [/ matemáticas]
¿Se puede usar esto para algo? Bueno, sí, porque sacar la raíz cuadrada da:
[matemáticas] x_1-x_2 = \ pm \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {a} [/ matemáticas]
y combinado con [matemáticas] x_1 + x_2 = \ frac {-b} {a} [/ matemáticas] tenemos dos ecuaciones lineales para determinar las raíces [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas]. Esencialmente, esta es una derivación alternativa de la famosa fórmula cuadrática.
El punto es que una técnica similar funciona para polinomios cúbicos y cuárticos.
El joven matemático francés Galois (que murió en un duelo) puso todo esto en un contexto sistemático llamado teoría de Galois.
Una aplicación diferente es en Física, donde tienes el teorema de Noether.
