El teorema viral establece que para cualquier sistema estable de objetos gravitacionalmente unidos en equilibrio,
[matemáticas] T \ simeq – \ dfrac {1} {2} V [/ matemáticas]
Donde [math] T [/ math] es la energía cinética total y [math] V [/ math] es la energía potencial total. Aquí está la prueba:
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Deje que el origen sea el centro de masa del sistema de cierto número de objetos masivos (dado que no hay fuerzas externas, no se acelerará) y [matemáticas] I [/ matemáticas] será el momento total de intertia.
[matemáticas] I = \ displaystyle \ sum_ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2I} {dt ^ 2} = \ displaystyle \ sum_ {i} [2 m_ {i} \ dfrac {d \ mathbf {r_ {i}}} {dt} \ cdot \ dfrac { d \ mathbf {r_ {i}}} {dt} + 2 m_ {i} \ dfrac {d ^ 2 \ mathbf {r_ {i}}} {dt ^ 2} \ cdot \ mathbf {r_ {i}}] [/matemáticas]
[math] = 4T + 2 \ displaystyle \ sum_ {i} \ mathbf {F_ {i}} \ cdot \ mathbf {r_ {i}} [/ math]
[math] = 4T – 2 \ displaystyle \ sum_ {i} \ dfrac {\ partial V} {\ partial r_ {i}} r_ {i} [/ math]
Dado que [matemáticas] V_ {i} \ propto r_ {i} ^ {- 1} [/ matemáticas] (ya que el origen es el centro de masa),
[matemáticas] = 4T – 2 \ displaystyle \ sum_ {i} (- \ dfrac {V_ {i}} {r_ {i}}) (r_ {i}) = 4T + 2V [/ matemáticas]
Ahora, dado que el sistema es estable y está en equilibrio, el momento de inercia debería tener una segunda derivada que en todo momento esté cerca de [matemáticas] 0 [/ matemáticas].
[matemáticas] 0 \ simeq 4T + 2V [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica [/ matemáticas]
[matemáticas] T \ simeq – \ dfrac {1} {2} V [/ matemáticas]
La importancia de esto es que podemos calcular cantidades importantes de un sistema de muchos cuerpos como un sistema solar o un cúmulo de galaxias en el que las soluciones exactas son imposibles. Existen teoremas análogos ‘viriales’ para sistemas electromagnéticos, estadísticos y de mecánica cuántica.
