¿Cuál es la función de error y por qué es útil en física?

La función de error también está presente en la difusión. La difusión es un fenómeno de transporte asociado con el movimiento térmico aleatorio de los átomos que produce un cambio en el perfil de concentración macroscópica. Las leyes de Fick se usan para describir matemáticamente la difusión y son una generalización de las ecuaciones de transferencia de calor utilizadas por Fourier.

La primera ley de Fick es
[math] \ mathbf {j_i} = -D_ {i} \ nabla c_ {i} [/ math]

donde [math] j_ {i} [/ math] es la corriente atómica, [math] D_ {i} [/ math] es la difusividad y [math] \ nabla c_ {i} [/ math] es el gradiente de concentración , todo para el componente [math] i [/ math]. Por lo tanto, es una relación entre las corrientes atómicas y los gradientes de concentración. En una dimensión se expresa como
[matemáticas] j_ {i} = -D_ {i} \ frac {\ partial c_ {i}} {\ partial x} [/ math]

La segunda ley de Fick es una ecuación de continuidad para la conservación del componente [matemática] i [/ matemática] durante la difusión y se expresa como
[matemáticas] \ frac {\ partial c} {\ partial t} = D \ cdot \ nabla ^ {2} c [/ math]
y en una dimensión se reduce a
[matemáticas] \ frac {\ partial c} {\ partial t} = D \ frac {\ partial ^ 2 c} {\ partial x ^ 2} [/ matemática].

En una dimensión hay varias soluciones, dependiendo de los límites y las condiciones iniciales, que se expresan con la función de error o la función de error complementaria [math] erfc (x) = 1 – erf (x) [/ math]:

Figura 1: Soluciones a la ecuación de difusión unidimensional [1]

[1] B.Bokstein, M.Mendelev, DJSrolovitz “Termodinámica y cinética en la ciencia de los materiales”, Oxford Univ.Press, 2005;