Gracias por el A2A. Otros Ooranes ya dieron la respuesta correcta, [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. Así que esbozaré la prueba que es esencialmente similar a la de Let [math] x_n = \ sqrt {2+ \ sqrt [3] {3+ \ ldots + \ sqrt [n] {n}}} [/ math]. Demuestre que para cualquier [matemática] n \ geq 2 [/ matemática], [matemática] x_ {n + 1} -x_n <\ frac {1} {n!}. [/ Matemática]
Deje que [matemáticas] a_n = \ sqrt {1 +2 \ sqrt {1 +3 \ sqrt {1 +4 \ sqrt {1 + \ ldots \ sqrt {1 + (n-1) \ sqrt {1 + n}}} }}} .[/matemáticas]
Primero permítanme recordar el hecho ya observado por los demás.
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Reemplace el radical más interno [math] \ sqrt {1 + n} [/ math] por [math] 1 + n [/ math].
Entonces el segundo radical interno [math] \ sqrt {1 + (n-1) \ sqrt {1 + n}} [/ math] se convierte en [math] \ sqrt {1 + (n-1) (1 + n) } = \ sqrt {1 + n ^ 2 -1} = n. [/ matemáticas]
Esto desencadena el efecto dominó.
En consecuencia, el tercer radical interno [matemáticas] \ sqrt {1+ (n-2) \ sqrt {1 + (n-1) \ sqrt {1 + n}}} [/ matemáticas] se convierte en [matemáticas] \ sqrt { 1+ (n-2) n} = n-1. [/ Math] El cuarto será [math] n-2 [/ math] y así sucesivamente.
Esta magia continuará hasta que alcancemos el radical más externo. Así
[math] a_n [/ math] se reemplazará por [math] \ sqrt {1 +2 \ cdot 4} = 3. [/matemáticas]
El reemplazo de [math] \ sqrt {n + 1} [/ math] por [math] n + 1 [/ math] da como resultado términos de secuencia más grandes que los del original. Entonces tenemos [math] a_n \ lt 3 [/ math] para [math] n \ in \ mathbf {N}. [/ Math] Por lo tanto, la secuencia original está limitada.
Tenga en cuenta que agregar radicales anidados adicionales conduce a términos de secuencia aumentados, es decir, [math] a_ {n + 1} \ gt a_ {n} [/ math], por lo que la secuencia está creciendo.
Cualquier secuencia real limitada monotónica tiene el límite.
Por lo tanto, concluimos que [math] \ lim_ {n \ to \ infty} a_n [/ math] existe y [math] \ lim_ {n \ to \ infty} a_n \ leq 3. [/ Math]
Nuestro próximo objetivo es mostrar que [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} a_n = 3. [/ Matemáticas]
Como en la respuesta antes mencionada, introduzcamos variables indexadas dobles
[math] a_ {n, k} = \ sqrt {1 + k \ sqrt {\ ldots \ sqrt {n + 1}}} [/ math] para [math] 2 \ le k \ le n. [/ math]
Según esta definición [matemáticas] a_ {n, 2} = a_ {n}. [/ Matemáticas]
Luego, al estimar más bajo el segundo radical interno por [math] 1, [/ math] tenemos [math] a_ {n, k} \ gt \ sqrt {k + 1}. \; (*) [/ math] Por otro lado, por el efecto dominó [math] a_ {n, k} \ lt k + 1. [/ math]
Calculemos la diferencia [matemática] 3-a_n [/ matemática] repetidamente utilizando la identidad [matemática] xy = \ dfrac {x ^ 2-y ^ 2} {x + y}: [/ matemática]
[matemáticas] 3 -a_ {n} = 3 -a_ {n, 2} = \ dfrac {3 ^ 2 -a_ {n, 2} ^ 2} {3 + a_ {n, 2}} = \ dfrac {3 ^ 2- 1 -2a_ {n, 3}} {3 + a_ {n, 2}} = \ dfrac {2 (4-a_ {n, 3})} {3 + a_ {n, 2}}. [ /matemáticas]
En el siguiente paso, obtenemos:
[matemáticas] 3 -a_ {n} = \ dfrac {2 (4-a_ {n, 3})} {3 + a_ {n, 2}} = \ dfrac {2 (4 ^ 2-a_ {n, 3 } ^ 2)} {(3 + a_ {n, 2}) (4 + a_ {n, 3})} = \ dfrac {2 \ cdot 3 \ cdot (5-a_ {n, 4})} {( 3 + a_ {n, 2}) (4 + a_ {n, 3})}. [/ Math]
Continuando con este proceso llegamos a la siguiente expresión:
[matemáticas] 3-a_ {n} = \ dfrac {2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot (n-1) \ cdot (n + 1 – \ sqrt {n + 1})} {(a_ {n, 2} +3) (a_ {n, 3} +4) \ ldots (a_ {n, n-1} + n)}. [/ Math]
Ahora usando (*) concluimos:
[matemáticas] 3 -a_ {n} \ lt \ dfrac {2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot (n-1) \ cdot (n + 1 – \ sqrt {n + 1})} {(\ sqrt { 3} +3) (\ sqrt {4} +4) \ ldots (\ sqrt {n} + n)}. [/ Math]
Si mostramos que [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {2 \ cdot 3 \ ldots \ cdot (n-1) \ cdot (n + 1 – \ sqrt {n + 1})} {( \ sqrt {3} +3) (\ sqrt {4} +4) \ ldots (\ sqrt {n} + n)} = 0, [/ math] habremos terminado.
Bueno, reescribamos la última expresión como
[matemáticas] \ displaystyle A = \ dfrac {2 (n + 1 – \ sqrt {n + 1})} {n + \ sqrt {n}} \ prod_ {k = 3} ^ {n-1} \ dfrac {k } {k + \ sqrt {k}}. \; (+) [/ matemáticas]
Ahora considere el recíproco del producto anterior
[matemáticas] \ displaystyle P = \ prod_ {k = 3} ^ {n-1} \ dfrac {k + \ sqrt {k}} {k} = \ prod_ {k = 3} ^ {n-1} \ left (1 + \ dfrac {1} {\ sqrt {k}} \ right). [/ Math]
La serie [math] \ ln P [/ math] se comporta como [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 3} ^ {n-1} \ dfrac {1} {\ sqrt {k}} [/ math] para [ matemáticas] n \ gg 0. [/ matemáticas]
Como este último claramente diverge, concluimos [math] \ lim_ {n \ to \ infty} P = \ infty. [/ Math]
Volviendo así a [matemáticas] A [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} A = \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {2} {P} = 0 [/ matemáticas ] llegando finalmente a la declaración requerida.
Como puede ver, desde el “efecto dominó” hasta una prueba rigurosa es un camino a seguir.