¿Qué es [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ scriptstyle \ sqrt {1 +2 \ sqrt {1 +3 \ sqrt {1 +4 \ sqrt {\ ldots \ sqrt {1 + n}}} }}[/matemáticas]?

Gracias por el A2A. Otros Ooranes ya dieron la respuesta correcta, [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. Así que esbozaré la prueba que es esencialmente similar a la de Let [math] x_n = \ sqrt {2+ \ sqrt [3] {3+ \ ldots + \ sqrt [n] {n}}} [/ math]. Demuestre que para cualquier [matemática] n \ geq 2 [/ matemática], [matemática] x_ {n + 1} -x_n <\ frac {1} {n!}. [/ Matemática]

Deje que [matemáticas] a_n = \ sqrt {1 +2 \ sqrt {1 +3 \ sqrt {1 +4 \ sqrt {1 + \ ldots \ sqrt {1 + (n-1) \ sqrt {1 + n}}} }}} .[/matemáticas]

Primero permítanme recordar el hecho ya observado por los demás.

Reemplace el radical más interno [math] \ sqrt {1 + n} [/ math] por [math] 1 + n [/ math].

Entonces el segundo radical interno [math] \ sqrt {1 + (n-1) \ sqrt {1 + n}} [/ math] se convierte en [math] \ sqrt {1 + (n-1) (1 + n) } = \ sqrt {1 + n ^ 2 -1} = n. [/ matemáticas]

Esto desencadena el efecto dominó.
En consecuencia, el tercer radical interno [matemáticas] \ sqrt {1+ (n-2) \ sqrt {1 + (n-1) \ sqrt {1 + n}}} [/ matemáticas] se convierte en [matemáticas] \ sqrt { 1+ (n-2) n} = n-1. [/ Math] El cuarto será [math] n-2 [/ math] y así sucesivamente.

Esta magia continuará hasta que alcancemos el radical más externo. Así
[math] a_n [/ math] se reemplazará por [math] \ sqrt {1 +2 \ cdot 4} = 3. [/matemáticas]

El reemplazo de [math] \ sqrt {n + 1} [/ math] por [math] n + 1 [/ math] da como resultado términos de secuencia más grandes que los del original. Entonces tenemos [math] a_n \ lt 3 [/ math] para [math] n \ in \ mathbf {N}. [/ Math] Por lo tanto, la secuencia original está limitada.
Tenga en cuenta que agregar radicales anidados adicionales conduce a términos de secuencia aumentados, es decir, [math] a_ {n + 1} \ gt a_ {n} [/ math], por lo que la secuencia está creciendo.

Cualquier secuencia real limitada monotónica tiene el límite.

Por lo tanto, concluimos que [math] \ lim_ {n \ to \ infty} a_n [/ math] existe y [math] \ lim_ {n \ to \ infty} a_n \ leq 3. [/ Math]

Nuestro próximo objetivo es mostrar que [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} a_n = 3. [/ Matemáticas]

Como en la respuesta antes mencionada, introduzcamos variables indexadas dobles

[math] a_ {n, k} = \ sqrt {1 + k \ sqrt {\ ldots \ sqrt {n + 1}}} [/ math] para [math] 2 \ le k \ le n. [/ math]
Según esta definición [matemáticas] a_ {n, 2} = a_ {n}. [/ Matemáticas]

Luego, al estimar más bajo el segundo radical interno por [math] 1, [/ math] tenemos [math] a_ {n, k} \ gt \ sqrt {k + 1}. \; (*) [/ math] Por otro lado, por el efecto dominó [math] a_ {n, k} \ lt k + 1. [/ math]

Calculemos la diferencia [matemática] 3-a_n [/ matemática] repetidamente utilizando la identidad [matemática] xy = \ dfrac {x ^ 2-y ^ 2} {x + y}: [/ matemática]
[matemáticas] 3 -a_ {n} = 3 -a_ {n, 2} = \ dfrac {3 ^ 2 -a_ {n, 2} ^ 2} {3 + a_ {n, 2}} = \ dfrac {3 ^ 2- 1 -2a_ {n, 3}} {3 + a_ {n, 2}} = \ dfrac {2 (4-a_ {n, 3})} {3 + a_ {n, 2}}. [ /matemáticas]

En el siguiente paso, obtenemos:

[matemáticas] 3 -a_ {n} = \ dfrac {2 (4-a_ {n, 3})} {3 + a_ {n, 2}} = \ dfrac {2 (4 ^ 2-a_ {n, 3 } ^ 2)} {(3 + a_ {n, 2}) (4 + a_ {n, 3})} = \ dfrac {2 \ cdot 3 \ cdot (5-a_ {n, 4})} {( 3 + a_ {n, 2}) (4 + a_ {n, 3})}. [/ Math]

Continuando con este proceso llegamos a la siguiente expresión:

[matemáticas] 3-a_ {n} = \ dfrac {2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot (n-1) \ cdot (n + 1 – \ sqrt {n + 1})} {(a_ {n, 2} +3) (a_ {n, 3} +4) \ ldots (a_ {n, n-1} + n)}. [/ Math]

Ahora usando (*) concluimos:

[matemáticas] 3 -a_ {n} \ lt \ dfrac {2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot (n-1) \ cdot (n + 1 – \ sqrt {n + 1})} {(\ sqrt { 3} +3) (\ sqrt {4} +4) \ ldots (\ sqrt {n} + n)}. [/ Math]

Si mostramos que [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {2 \ cdot 3 \ ldots \ cdot (n-1) \ cdot (n + 1 – \ sqrt {n + 1})} {( \ sqrt {3} +3) (\ sqrt {4} +4) \ ldots (\ sqrt {n} + n)} = 0, [/ math] habremos terminado.

Bueno, reescribamos la última expresión como

[matemáticas] \ displaystyle A = \ dfrac {2 (n + 1 – \ sqrt {n + 1})} {n + \ sqrt {n}} \ prod_ {k = 3} ^ {n-1} \ dfrac {k } {k + \ sqrt {k}}. \; (+) [/ matemáticas]

Ahora considere el recíproco del producto anterior
[matemáticas] \ displaystyle P = \ prod_ {k = 3} ^ {n-1} \ dfrac {k + \ sqrt {k}} {k} = \ prod_ {k = 3} ^ {n-1} \ left (1 + \ dfrac {1} {\ sqrt {k}} \ right). [/ Math]

La serie [math] \ ln P [/ math] se comporta como [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 3} ^ {n-1} \ dfrac {1} {\ sqrt {k}} [/ math] para [ matemáticas] n \ gg 0. [/ matemáticas]
Como este último claramente diverge, concluimos [math] \ lim_ {n \ to \ infty} P = \ infty. [/ Math]
Volviendo así a [matemáticas] A [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} A = \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {2} {P} = 0 [/ matemáticas ] llegando finalmente a la declaración requerida.
Como puede ver, desde el “efecto dominó” hasta una prueba rigurosa es un camino a seguir.

¡Bien! ……. Puedo probar que esto es igual a 3 en reversa.

Ahora considere 3.

3 = √9

√9 se puede escribir como √ (1 + 8)

√ (1 + 8) = √ (1+ (2 × 4))

Ahora, 4 = √16

Por lo tanto,

√ (1+ (2 × 4)) = √ (1 + 2√16)

16 puede escribirse como 1 + 15 y 15 puede expresarse como 3 × 5.

Entonces,

√ (1 + 2√16) = √ (1 + 2√1 + (3 × 5)).

Ahora, 5 = √25 y 25 = 1 + 24.

De nuevo,

√1 + 2√1 + 3√1 + 24 = √1 + 2√1 + 3√1 + (4 × 6)

Entonces podemos expandir esta secuencia hasta n números que ya hemos igualado a 3.

Esta ecuación también se puede probar usando triángulos. Por fin, el área del triángulo más grande será igual a 3.

Aquí hay otra forma de hacerlo:

Escribir

[matemáticas] x_ {n} = \ sqrt {1 + 2 \ sqrt {1 + 3 \ sqrt {1 + 4 \ sqrt {… \ sqrt {1 + n}}}}} [/ matemáticas]

Cuadrar esta ecuación [matemáticas] n-1 [/ matemáticas] veces lleva a la siguiente ecuación:

[matemáticas] (x_ {n}) ^ {2 ^ {n-1}} = 3 ^ {2 ^ {n-2}}. 4 ^ {2 ^ {n-3}}… (n + 1) ^ 0 [/ matemáticas]

Ahora tomando el registro en ambos lados y escribiendo RHS como una suma da (1):

[matemáticas] log (x_ {n}) = \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ {n} \ dfrac {log (k + 1)} {2 ^ {k-1}} [/ math]

Ahora escriba radicales parciales:

[matemáticas] x_ {2} = \ sqrt {1 + 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {3} = \ sqrt {1 + 2 \ sqrt {1 + 3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n} = \ sqrt {1 + 2 \ sqrt {1 + 3 \ sqrt {1 + 4 \ sqrt {… \ sqrt {1 + n}}}}} [/ matemáticas]

Ahora, si uno calcula [matemáticas] \ dfrac {x_ {3}} {x_ {2}} [/ matemáticas], [matemáticas] (\ dfrac {x_ {4}} {x_ {3}}) ^ {2} [ / math], [math] (\ dfrac {x_ {4}} {x_ {3}}) ^ {4} [/ math], uno encuentra la relación:

[matemáticas] (\ dfrac {x_ {n}} {x_ {n-1}}) ^ {2 ^ {n-3}} = \ sqrt {\ sqrt {n + 1}} [/ matemáticas]

Tomar el registro de todas estas fracciones y agregarlas da (2):

[matemáticas] log (\ dfrac {x_ {n}} {x_ {2}}) = \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ {n-1} \ dfrac {log (k + 1)} {2 ^ k }[/matemáticas]

Todo lo que uno tiene que hacer ahora es (1) – (2) dando:

[matemáticas] 2log (x_ {2}) – log (x_ {n}) = \ dfrac {log (n + 1)} {2 ^ {n-1}} [/ math]

Claramente, RHS de la ecuación va a cero para grandes [matemáticas] n, [/ matemáticas] por lo tanto, da:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} log (x_ {n}) = 2log (x_ {2}) [/ math]

Sabemos que [math] x_ {2} = \ sqrt {3} [/ math]

Y ya hemos terminado.

Perdón por omitir muchos pasos algebraicos, espero que puedas hacerlo por tu cuenta

Es 3, o al menos, extremadamente cercano a 3.

No estoy satisfecho con esta respuesta, porque no sé cómo probarla, pero la evidencia numérica es casi imposible de descartar.

Vea este diagrama de dispersión de los valores de esta función, calculado por el siguiente código:

#Whats the value of [math]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4 ...}}}[/math]?
def sum_of_square_roots(limit):
res = sqrt(limit + 1) for i in xrange(limit - 1, 1, -1):
res = sqrt(i*res + 1) return res

#Whats the value of [math]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4 ...}}}[/math]?
def sum_of_square_roots(limit):
res = sqrt(limit + 1) for i in xrange(limit - 1, 1, -1):
res = sqrt(i*res + 1) return res

#Whats the value of [math]\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4 ...}}}[/math]?
def sum_of_square_roots(limit):
res = sqrt(limit + 1) for i in xrange(limit - 1, 1, -1):
res = sqrt(i*res + 1) return res


sum_of_square_roots(20).n(digits=100)
da 2.999987880599493711392442676212350308600110162119747225485265104680811236111355766455452193988976900

Eso está bastante cerca de 3, y parece estar más cerca:

sum_of_square_roots(200).n(digits=100)
da
2.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999986734920952118166038412529238792807975828

Es muy muy muy cerca de las tres. Lo llamaría tres, pero no sé cómo demostrarlo.

3

La siguiente página en wolframalpha.com sugiere lo mismo.

Esto se puede lograr yendo de abajo hacia arriba

3 = [matemáticas] \ sqrt {3 ^ 2} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ sqrt {9} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ sqrt {1 + 8} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ sqrt {1 + \ izquierda ({2 * 4} \ derecha)} [/ matemáticas]

donde 4 se da como
4 = [matemáticas] \ sqrt {4 ^ 2} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ sqrt {16} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ sqrt {1 + 15} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ sqrt {1 + \ izquierda ({3 * 5} \ derecha)} [/ matemáticas]

donde 5 se da como
5 = [matemáticas] \ sqrt {5 ^ 2} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ sqrt {25} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ sqrt {1 + 24} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ sqrt {1 + \ izquierda ({4 * 6} \ derecha)} [/ matemáticas]

y así …

Además, si incluye un [math] \ sqrt {1 + 1 …} [/ math] seguido de limitar la respuesta se reduce a 2

[matemáticas] (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + 2n + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (n + 1) ^ 2 = n (n + 2) +1 [/ matemáticas]

Poniendo [math] n = 1 [/ math], obtenemos [math] 2 ^ 2 = 4 [/ math], lo cual es exacto, y realmente no podemos hacer nada con eso.

Poner [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 2 = 2 (4) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 3 = \ sqrt {2 (4) +1} ……… .. [*] [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ 2 = 3 (5) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 4 = \ sqrt {3 (5) +1} [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 ^ 2 = \ sqrt {4 (6) +1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 5 = \ sqrt {4 (6) +1} [/ matemáticas]

Sustituyendo en [matemáticas] [*] [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 = \ sqrt {1 + 2 \ sqrt {1 + 3 \ sqrt {1 + 4 \ sqrt {1 + 5 \ sqrt {}…}}}} \ tag * {} [/ matemáticas]

Esta es la propiedad radical anidada por Srinivasa Ramanujan Iyengar.

Cuando √1 + 2√1 + 3√1 … creo que significa 2 veces √1 y no la raíz cuadrada de 1 y la raíz cúbica de uno y así sucesivamente.

Así es como lo resuelves

Dado que la válvula de √1 = 1 simplemente podemos ignorar todos los √1 como
x veces 1 = x

Entonces la pregunta ahora se parece a esto
1 + 2 + 3 + 4 … ..
Aquí no ha escrito hasta qué límite / número desea realizar el envío, así que nuevamente supongamos que es n
1 + 2 + 3 + 4 …… + (n-1) + n

La presentación de los primeros n enteros viene dada por
n (n + 1)
2
Esto se puede derivar fácilmente utilizando la fórmula de presentación básica y la progresión aritmética (AP)

En caso de que no tenga límite y desee sumar series infinitas, no es posible cuando los números siguen aumentando, es decir, cuando la diferencia común es mayor que uno en el caso de un AP

Darse cuenta de

[matemáticas] n (n + 2) = n \ sqrt {1 + (n + 1) \ left ({n + 3} \ right)} [/ math]

Por lo tanto, [matemáticas] f (n) = n (n + 2) [/ matemáticas] tenemos que

[matemáticas] f (n) = n \ sqrt {1 + f (n + 1)} = n \ sqrt {1 + \ left ({n + 1} \ right) \ sqrt {1 + f (n + 2) }} =… [/ Matemáticas]

es decir

[matemáticas] n (n + 2) = n \ sqrt {1 + (n + 1) \ sqrt {1 + \ left ({n + 2} \ right) \ sqrt {1 +…}}} [/ math]

Poniendo n = 1 obtienes

[matemáticas] \ sqrt {1 + 2 \ sqrt {1 + 3 \ sqrt {1 +…}}} = 3 [/ matemáticas]

En una entrada de Ramanujan en sus Cuadernos: una expansión de raíces anidadas

Ejecute este código:

x = cualquier valor de cero a un millón

para (n = 69; n> = 2; n -) {x = sqrt (1 + n * x)}

imprimir x

La respuesta siempre será x = 3

let [math] f (x) = \ sqrt {1+ (x + 1) \ sqrt {1+ (x + 2)…}} [/ math], entonces tenemos [math] f ^ 2 (x) = 1 + (x + 1) f (x + 1) [/ matemática], también sabemos que [matemática] f (x = -1) = 1 [/ matemática], lo que necesitamos es [matemática] f (x = 1) [/ matemáticas]

Solo sigue este patrón hasta el infinito …

  • [matemáticas] 3 [/ matemáticas]
  • [matemáticas] \ sqrt {1 + 2 \ veces 4} [/ matemáticas]
  • [matemáticas] \ sqrt {1 + 2 \ sqrt {1 + 3 \ veces 5}} [/ matemáticas]
  • [matemáticas] \ sqrt {1 + 2 \ sqrt {1 + 3 \ sqrt {1 + 4 \ veces 6}}} [/ matemáticas]

¡Observe cómo cada línea es igual a la última, lo que significa que todas son iguales a tres! Y claramente, cuando se sigue infinitamente, esta secuencia es la misma que la de la pregunta.

Resp .: 3