¿Cuál es la imagen de una transformación lineal?

Se dice que una transformación “mapea” su dominio a su codominio. Un objeto en su dominio se asigna a la “imagen” del objeto en el codominio.

En la jerga de la programación de computadoras, una transformación toma un objeto como entrada y produce la imagen del objeto como su salida.

Una transformación es un tipo especial de transformación para el que el dominio y el codominio son el mismo espacio.

Una transformación lineal es un tipo especial de transformación.

En matemáticas, uno puede referirse a la imagen de un objeto, pero no a la imagen de una transformación (si no me equivoco). Pero en la programación de computadoras, especialmente el software de gráficos, la entrada y la salida de una transformación son a menudo ambas imágenes (en el sentido gráfico u óptico), por lo que parece probable que uno se refiera a la salida como la imagen de la transformación.

Deje que [math] f: X \ to Y [/ math] sea una función

entonces [matemáticas] im (f): = \ {y \ en Y: \ existe x \ en X, f (x) = y \} [/ matemáticas]

Entonces, un subconjunto de [math] Y [/ math] que contiene todos los elementos con preimágenes no vacías.

Para [math] f: V \ to W [/ math], [math] V, W [/ math] espacios de vectores sobre el mismo campo

y [matemática] f [/ matemática] lineal. También denotado como [math] f \ en Hom_F (V, W) [/ math]

[math] im (f) [/ math] es un espacio subvector de [math] W [/ math]

y [matemáticas] V / (kern (f) \ cong im (f) [/ matemáticas]

Definición. Por definición, la imagen de una transformación T de un espacio vectorial V a W es el conjunto de vectores w en W de tal manera que existe un vector v en V que se asigna a w. Es decir, es el “conjunto de valores tomados por la transformación”.

Pero, ¿qué conjuntos obtienes realmente como imagen? No es difícil demostrar que la imagen de una transformación lineal es un subespacio lineal de W. Además, es un teorema que cada subespacio lineal de W es de hecho la imagen de alguna transformación lineal T: V -> W.