Deje que [math] M [/ math] sea una variedad, cualquier variedad. Bien, ¿qué hay en tu cabeza ahora? Bueno, dependiendo de su persuasión, la respuesta puede variar desde una línea [matemática] \ mathbb {R} ^ 1 [/ matemática], una esfera, un toro, un nudo o tal vez (los puntos reales de) una superficie K3 .
Ahora tome un esquema, cualquier esquema. O toma una pila, cualquier pila. Nuevamente, dependiendo de su persuasión, volverá a visualizar una variedad que también es un esquema y pretenderá que el esquema o la pila que está viendo es realmente esta respuesta geométrica visceral que tuvo a las preguntas anteriores. Entonces, quizás se pueda decir que uno “comprende” múltiples mejor que los esquemas o las pilas.
Pero, al menos para mí, me encuentro “fingiendo” que entiendo múltiples. Tengo algunos ejemplos de baja dimensión, pero todavía son bastante difíciles de estudiar. En parte porque no puedo visualizar algo que no puede integrarse en 3 espacios, pero, lo que es más importante, es porque la teoría múltiple está diseñada para ajustarse a nuestra intuición (limitada) de cómo se ve el mundo: podemos ver las cosas solo “localmente”. comenzamos diciendo cómo se ve una variedad localmente y luego decimos “¡oh solo pegamento! y luego confiamos en cosas como “cocyles” para comprender lo que sucede en la intersección, etc. En otras palabras, se supone que la estructura global de múltiples es difícil precisamente porque se supone que captura la experiencia, como humanos, de que mirar más allá de su punto de vista “local” es difícil.
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Mi punto es que muchos fenómenos, afirmaciones, pruebas, construcciones, etc., en realidad solo son realmente comprensibles a nivel local, incluso comenzando con una teoría múltiple. Esta es la razón por la cual la teoría de la descendencia es importante, especialmente para áreas de matemáticas que son “menos intuitivamente geométricas” que la teoría múltiple.
La teoría de los descensos, sin importar cómo esté redactada (algunos módulos, complejo de Amitsur, condiciones de cociclo), se trata de técnicas generales para mostrar cómo las construcciones / pruebas / declaraciones locales “descienden” a algo global. Está diseñado porque nosotros (al menos al principio) realmente no podemos intuir lo que sucede a nivel global, por lo que debemos hacer las cosas a nivel local y luego confiar en algún tipo de procedimiento para pasar a la imagen global.
El ejemplo más básico es el hecho de que cuando desea pegar múltiples / esquemas / pilas / lo que sea necesario para proporcionar datos de pegado que satisfagan algún tipo de compatibilidad. A menudo, por ejemplo, al configurar la teoría de las pilas, usted afirma que desea que sus dispositivos satisfagan el descenso. Entonces decimos que sabemos cuál es el valor de mi gadget en una cosa local (por ejemplo, el valor de una pila de módulos en un esquema afín / un anillo) y luego el valor de mi gadget en una cosa global se puede calcular en términos de sus piezas locales (por ejemplo, el ecualizador de algún diagrama). La teoría de los descensos se puede ver como una colección de técnicas para mostrar que algún dispositivo extraño que acabas de conocer en la calle satisface el descenso o, si no lo hace, cómo puedes aproximarlo alguien que lo haga.
