¿Hay alguna forma intuitiva de entender la fórmula de distribución de Poisson?

Los experimentos que producen valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de salidas que ocurren durante un intervalo de tiempo dado o en una región específica , se denominan experimentos de Poisson. El intervalo de tiempo dado puede ser de cualquier duración, como un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año. Por ejemplo, un experimento de Poisson puede generar observaciones para la variable aleatoria X que representa la cantidad de llamadas telefónicas recibidas por hora por una oficina, la cantidad de días que la escuela cierra debido a la nieve durante el invierno o la cantidad de juegos pospuestos debido a la lluvia durante una temporada de beisbol. La región especificada podría ser un segmento de línea, un área, un volumen o quizás una pieza de material. En tales casos, X podría representar la cantidad de ratones de campo por acre, la cantidad de bacterias en un cultivo determinado o la cantidad de errores de tipeo por página.

Un experimento de Poisson se deriva del proceso de Poisson y posee las siguientes propiedades:

1. El número de salidas que ocurren en un intervalo de tiempo o región de espacio especificada es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o región disjunta. En este sentido, decimos que el proceso de Poisson no tiene memoria .

2. La probabilidad de que ocurra una salida única durante un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la duración del intervalo de tiempo o al tamaño de la región y no depende de la cantidad de salidas que ocurran fuera de este intervalo de tiempo o región.

3. Si el período de tiempo o el área de la región es insignificante, la probabilidad de que ocurra más de una salida en un intervalo de tiempo tan corto o caiga en una región tan pequeña es insignificante.

El número X de salidas que ocurre durante un experimento de Poisson se llama variable aleatoria de Poisson, y su distribución de probabilidad se llama distribución de Poisson. La distribución de Poisson se obtiene de la distribución binomial cuando n (número total de eventos) → ∞, p (probabilidad de ganar) → 0 & np → μ (valor medio) permanece constante.

Sea λ = la tasa de ocurrencia de salidas (el número promedio de salidas viene por unidad de tiempo, distancia, área o volumen)

t = el “tiempo”, “distancia”, “área” o “volumen” específico de interés.

El número medio de salidas viene, μ = λt = np Por lo tanto, p = λt / n

De la distribución binomial,

Entonces, la distribución de Poisson se define por

Por lo tanto,

Al igual que muchas distribuciones discretas y continuas, la forma de la distribución de Poisson se vuelve más y más simétrica, incluso en forma de campana, a medida que la media crece.

Para más consulta:

Distribución de Poisson – Wikipedia

Distribución binomial – Wikipedia

Estadísticas | La distribución de Poisson

https://lo.unisa.edu.au/mod/book…

Distribución de veneno

http://www.stats.ox.ac.uk/~march…

estadísticaMatemáticas y físicaprobabilidad

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La distribución de Poisson se entiende mejor como el límite de una secuencia de distribuciones binomiales. Esta respuesta supondrá que ya se siente cómodo con la distribución binomial. Si no, lea un poco sobre ese tema y luego vuelva a esta respuesta.

Supongamos que sabemos que un sitio web oscuro tiene un promedio de 200 visitantes por año. Tenga en cuenta que 200 por año son aproximadamente [matemáticas] \ frac {200} {365} \ aproximadamente 0.55 [/ matemáticas] por día. Pensemos cómo podríamos intentar modelar el número de visitas que recibe en un día en particular.

El modelo más simple podría ser decir que todos los días del año, el sitio web recibe exactamente un visitante o no y que estos eventos son independientes. En ese caso, el número de visitas por año seguiría una distribución binomial con [matemáticas] m = 356 [/ matemáticas] y [matemáticas] p = \ frac {200} {365} [/ matemáticas]. (Sabemos [matemática] p [/ matemática] porque sabemos que el promedio es [matemática] mp [/ matemática] y debe ser igual a 200.) De manera similar, el número de visitas por día seguiría una distribución binomial con [matemática ] n = 1 [/ matemática] y [matemática] p = \ frac {200} {365} [/ matemática]. Usando este modelo, sabemos que en un día en particular, solo hay dos posibilidades. O el sitio no recibe visitantes (con probabilidad [matemáticas] 1-p \ aproximadamente 0.45 [/ matemáticas]) o recibe uno (con probabilidad [matemáticas] p \ aproximadamente 0.55 [/ matemáticas]). Ahora este modelo obviamente tiene un problema. Ciertamente debe ser posible que 2 o 3 o más personas visiten el sitio el mismo día. Pero, este modelo no es una primera aproximación terrible.

¿Qué podemos hacer para obtener un mejor modelo? Bueno, hay [matemáticas] m = 365 \ cdot 24 = 8760 [/ matemáticas] horas en un año. Podríamos modelar cada hora del año para que exactamente una o exactamente ninguna visita durante esa hora (independientemente y con la misma probabilidad cada hora). En este caso, el número por año sigue una distribución binomial con parámetros [matemática] m = 8760 [/ matemática] y [matemática] p = \ frac {200} {8760} [/ matemática]. (Nuevamente, sabemos cuál debe ser [math] p [/ math] ya que sabemos que la media, dada por [math] mp [/ math], debe ser 200.) Usando este modelo, sabemos el número de visitas en un día en particular también es Binomial con parámetros [matemática] n = 24 [/ matemática] (ya que hay 24 horas en el día) y [matemática] p = \ frac {200} {8760} [/ matemática] ya que esta es la probabilidad de que un visitante aparezca cada hora). Ahora, esta distribución binomial también tiene un problema porque ciertamente es posible que dos o más visitantes puedan venir en la misma hora, pero nuestro modelo solo permite uno o cero en una hora. Pero este problema es menos significativo que en nuestro modelo original, ya que hay una posibilidad mucho menor de que vengan dos o más en la misma hora que dos o más en el mismo día.

Pero podemos usar minutos en lugar de horas y estar menos preocupados ya que hay una pequeña posibilidad de que dos o más visitantes lleguen en el mismo minuto. ¿Por qué detenerse allí, por qué no dividir el día en segundos o milisegundos o microsegundos? Al usar divisiones más pequeñas, corremos un riesgo cada vez menor de que cualquier incremento tenga dos o más eventos.

Matemáticamente, esta idea grita por el estudio de un límite. En particular, queremos dividir el día en [math] n [/ math] piezas de igual longitud y luego dejar que [math] n \ to \ infty [/ math]. Hacemos esto de tal manera que [math] p = \ frac {200} {365n} [/ math] para que [math] np \ aprox 0.55 [/ math] permanezca fijo. Por lo tanto, el número en un día siempre viene dado por una distribución binomial con parámetros [math] n [/ math] y [math] \ frac {200} {365n} [/ math]. Entonces, ¿qué pasa con esta distribución como [math] n \ to \ infty [/ math]? Lo has adivinado, se limita a la distribución de Poisson con media [matemática] 0.55 [/ matemática]. Y en este modelo limitante, ya no tenemos que preocuparnos por dos o más ocurrencias durante el mismo paso de tiempo pequeño porque los pasos de tiempo ahora son infinitesimales.

Simon Zhang

En realidad, la distribución de Poisson podría entenderse de una manera bastante intuitiva, una vez que reconocemos el estilo completo de su ecuación.

En primer lugar, debemos aclarar que la Distribución de Poisson mide la probabilidad de un evento que ocurra [matemática] n [/ matemática] veces durante un período de tiempo específico [matemática] t [/ matemática]. definamos una función [matemática] N (t) = n [/ matemática] para medir el evento específico [matemática] N [/ matemática] ocurrida [matemática] n [/ matemática] veces durante el período de tiempo [matemática] t [/ matemáticas].

En segundo lugar, podríamos concluir un promedio de veces que ocurrió el evento [matemática] N [/ matemática] durante un período de tiempo unitario. Dicho resultado promedio se denota como [math] \ lambda. [/ Math]

En tercer lugar, todo el estilo de Distribución de Poisson ahora podría reescribirse como el siguiente estilo.

[matemáticas] P (N (t) = n) = \ frac {(\ lambda t) ^ {n} e ^ {- \ lambda t}} {n!} [/ matemáticas]

Como la ecuación ilustrada anteriormente, tanto los argumentos [math] \ lambda [/ math] como [math] n [/ math] dependen en gran medida del período de tiempo [math] t [/ math]. Normalmente, el período de tiempo debe especificarse al definir el tipo de evento que se discutirá, de modo que la forma de la ecuación regrese a lo que a menudo se ve en un libro de texto.

Ejemplo . Si el número promedio de bebés nacidos en un hospital cada hora es 3 ([matemática] \ lambda = 3) [/ matemática], entonces la probabilidad de que 4 recién nacidos en 2 horas se puedan calcular como la fórmula mostrada anteriormente:

[matemáticas] P (N (2) = 4) = \ frac {(3 \ times2) ^ {4} e ^ {- 3 \ times2}} {4!} = 0.1339 [/ matemáticas]

Simon Zhang

Una de las formas de comprender las distribuciones de Poisson es a través de la desintegración radiactiva.

Puede obtener un contador Geiger y un plátano y contar los clics del contador Geiger en una ventana de tiempo. Lo que (con suerte) descubrirá es que si el número promedio de clics en esa ventana de tiempo es [math] \ bar {n}, [/ math], entonces la distribución de clics es

[matemáticas] P (n) = \ frac {\ bar {n} ^ n} {n!} \ exp (- \ bar {n}) [/ matemáticas]

Entonces, si elige que su ventana de tiempo sea de 1 clic por segundo, encontrará que obtiene