Quiero compartir mi propia intuición sobre qué son los módulos (los módulos, especialmente en la teoría de categorías, son cosas más abstractas que generalizan los espacios vectoriales). La idea es esta: tienes una cosa llena de escalares, llamada objeto terrestre (un monoide en alguna categoría monoidal si quieres la jerga). Desea formar una nueva cosa (un módulo) que se compone esencialmente de un montón de líneas a través de un origen, donde cada línea se parametriza por las cosas en su objeto de tierra. Los “vectores” (o simplemente elementos generales de su módulo) son los puntos en estas líneas, y puede imaginar tomar un vector y deformarlo por una tonelada de diferentes escalares y verlo “llenar” la línea en la que yace. Tenga en cuenta que se mantiene en línea; estos son pequeños muchachos disciplinados!
Un vector no es inherentemente una flecha. Un vector es una línea y un punto en esa línea, especificado por algún escalar. Cuando su escalar es negativo, ese punto se desliza a través del origen para sentarse en la otra mitad de la misma línea.
Otros objetos matemáticos se comportan de manera similar a los espacios vectoriales (son módulos), pero no se sientan sobre un campo. ¡Los módulos sobre el anillo de enteros son solo grupos abelianos, y las líneas a través del origen se pueden doblar a sí mismas! Son más como bucles a través del origen a veces. Y sin embargo, pueden especificarse mediante un escalar (un entero) y la órbita en la que se sientan.
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Entonces, no piense en un vector como una flecha, sino como un punto paramaterizado en una línea (parametrizado por su magnitud en este caso).
