¿Cuál es el significado físico de un tensor? ¿Cuáles son ejemplos interesantes de tensores en física?

El análisis tensorial fue elaborado por Ricci y Levi-Civita a principios del siglo XX, después de que Riemann sugiriera generalizar la geometría euclidiana. El objetivo principal del cálculo del tensor es construir relaciones y leyes (entre entidades matemáticas) que siguen siendo válidas en todos los sistemas de coordenadas.

Los tensores son objetos geométricos que poseen la propiedad de que si una cierta interrelación se mantiene entre varios tensores en un sistema de coordenadas particular, entonces la misma interrelación se mantiene en cualquier otro sistema de coordenadas que esté relacionado con el primer sistema por una cierta clase de transformaciones. De ello se deduce que las leyes de la física se pueden expresar como interrelaciones entre los tensores .

Fuente: El significado físico de los tensores.

Un tensor puede definirse en un solo punto o en una colección de puntos aislados del espacio, o puede definirse en un continuo de puntos. En el último caso, los elementos del tensor son funciones de posición y el tensor forma lo que se llama un campo tensorial. Esto significa que el tensor se define en cada punto dentro de una región del espacio, en lugar de solo en un punto o colección de puntos aislados.

Un tensor puede consistir en un solo número, en cuyo caso se lo denomina tensor de orden cero o escalar.

Un ejemplo de un escalar sería la masa de una partícula u objeto. Un ejemplo de un campo escalar sería la densidad de un fluido en función de la posición. Un segundo ejemplo de un campo escalar sería el valor de la energía potencial gravitacional en función de la posición.

Un tensor de orden uno se conoce como vector. Al igual que los tensores de cualquier orden, se puede definir en un punto o puntos, o puede variar continuamente de un punto a otro, definiendo así un campo vectorial.

La descripción de un campo eléctrico en el espacio proporciona un ejemplo de campo vectorial. El campo eléctrico en cualquier punto requiere más de un número para caracterizarse porque tiene una magnitud (fuerza) y actúa a lo largo de una dirección definida, algo que no se comparte con un escalar, como la masa. En general, tanto la magnitud como la dirección del campo varían de un punto a otro.

Fuente: ¿Qué es un tensor?

Aquí hay un ejemplo de vectores de la mecánica:
Los componentes contravariantes del vector de fuerza que actúa sobre una partícula de masa m son:

[matemáticas] \ displaystyle \ Gamma _ {rs} ^ k [/ matemáticas] son los símbolos de Christoffel del segundo tipo.

Los componentes covariantes de la fuerza son:

[matemáticas] \ displaystyle g_ {kr} [/ matemáticas] es el tensor métrico

La energía cinética (escalar) de la partícula de masa m es:

La fórmula para los componentes covariantes de la fuerza se puede escribir en la forma lagrangiana:

A continuación, un vector son tensores de orden 2, que a menudo se denominan matrices. Los componentes de un tensor de segundo orden se pueden escribir como una matriz bidimensional.

Un ejemplo de un tensor de segundo orden es la llamada matriz de inercia (o tensor) de un objeto. Para objetos tridimensionales, es una matriz de elementos 3 x 3 = 9 que caracteriza el comportamiento de un cuerpo giratorio.

Fuente: ¿Qué es un tensor?

Explícitamente:

Otro ejemplo de un tensor de segundo orden es el tensor electromagnético:

[matemáticas] \ displaystyle F _ {\ beta \ gamma} = \ frac {\ partial A _ {\ gamma}} {\ partial \ beta} – \ frac {\ partial A _ {\ beta}} {\ partial \ gamma} [/ matemáticas]

En la ecuación anterior, A es el potencial electromagnético de cuatro.

Un ejemplo de tensor de segundo rango en la mecánica del continuo es el tensor de tensión de Cauchy.

En la Teoría general de la relatividad de Einstein, la curvatura del espacio-tiempo, que da lugar a la gravedad, se describe mediante el llamado tensor de curvatura de Riemann, que es un tensor de orden cuatro. Como se define en el espacio-tiempo, que es de cuatro dimensiones, el tensor de curvatura de Riemann se puede representar como una matriz de cuatro dimensiones (porque el orden del tensor es cuatro), con cuatro componentes (porque el espacio-tiempo es de cuatro dimensiones) cada borde Es decir, en este caso, el tensor de curvatura de Riemann tiene 4 x 4 x 4 x 4 = 256 componentes. Afortunadamente, resulta que solo 20 de estos componentes son matemáticamente independientes entre sí, lo que simplifica enormemente la solución de las ecuaciones de Einstein.

Fuente: ¿Qué es un tensor?

El tensor de curvatura de Riemann o el tensor de Riemann-Christoffel del segundo tipo viene dado por:

Los simbolos [matemáticas] \ Gamma _ {jl} ^ i [/ matemáticas] son los símbolos de Christoffel del segundo tipo.

Al bajar el índice contravariante se obtiene:

Este es el tensor de Riemann del primer tipo.
[matemáticas] g_ {ir} [/ matemáticas] es el tensor métrico

Como un ejemplo interesante, para la métrica de coordenadas esféricas:

uno obtiene:

[matemáticas] R_ {ijkl} = 0 [/ matemáticas]

para todo i, j, k, l.

Otras fuentes:
Momento de inercia

Esquema de Schaums del cálculo del tensor (Esquemas de Schaum): David Kay: 9780071756037: Amazon.com: Libros

Tú lo sabes

Notará que, aparte de los cuadrados perfectos, hay contribuciones mixtas. De hecho todas las posibles contribuciones.

En caso de que la distancia izquierda de X a Y no tenga una contribución mixta de a y b (mutuamente perpendiculares). Entonces, c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 pero en el caso de la derecha, tienen un componente distinto de cero en la dirección en la que se encuentran. Por lo tanto, c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + contribución mixta. (He considerado casos extremos para facilitar la comprensión)

El tensor métrico es una función que indica cómo calcular la distancia entre dos puntos en un espacio dado. Sus componentes pueden verse como factores de multiplicación que deben colocarse delante de los desplazamientos diferenciales. en un teorema de Pitágoras generalizado:

Ahora consideremos 3 casos:

Espacio euclidiano (geometría simple)

Tienes g_ij = Kroneker delta, es decir. en matriz de identidad. Lo que da :
Esto es intuitivo y tú lo sabes.

Tiempo de espacio plano

Con la elección de los desplazamientos como tiempo y espacio. ,

Aquí, el Tensor métrico es una métrica de espacio plano o la métrica de Minkowski:

Esto también es intuitivo ya que η no tiene términos fuera de la diagonal.

Ahora, la parte divertida:

Relatividad general espacio-tiempo

En este caso, (he tomado 2d espacio y 1d tiempo por simplicidad) tenemos los términos no diagonales.

¿Por qué? porque la gravedad dobla el espacio-tiempo, la gravedad dobla la luz, todo está interconectado y, por lo tanto, tenemos un efecto más general. g22dx2 es la contribución de dx solo. pero g12dxdy es una contribución mixta.

Si bien es cierto que el tensor métrico es útil para calcular distancias, su interpretación es más profunda.

Para utilizar una terminología simplificada aunque algo obsoleta, el tensor métrico transforma la forma contravariante de un vector en su forma covariante. La forma contravariante es lo que todos conocemos y amamos: los componentes del vector se miden paralelos a cada eje. La forma covariante es similar: cada componente se mide como normal al plano formado por dos ejes cualquiera.

La distinción es extremadamente útil, ya que se garantiza que los ejes de la contra y la covariante (definidos, en realidad) sean perpendiculares, por lo que cuando tomas su producto siempre obtienes relaciones como

i veces i ‘= 1
i veces j ‘= 0
i veces k ‘= 0

Y terminas con el producto punto familiar.

Para el sistema de coordenadas euclidiano, las formas contravariante y covariante tienen exactamente los mismos componentes, por lo que normalmente no pensamos en hacer ninguna conversión, porque es simplemente como multiplicar por 1.

En un sistema de coordenadas diferente, es posible que no todos los ejes estén en ángulo recto entre sí, y los componentes de las formas contravariante y covariante no son los mismos, y si toma el producto punto de la forma covariante contra sí mismo, no obtendrá El cuadrado de su longitud.

En otras palabras, es mejor escribir

Longitud ^ 2 = gAA

En lugar de

Longitud ^ 2 = Un punto A

Donde g es el tensor métrico.

Entonces, los componentes del tensor métrico forman una función invertible (la inversa del tensor métrico transforma la forma covariante en la forma contravariante) que transforma los componentes de la forma contravariante de un vector en los componentes de su forma covariante. Los componentes individuales del tensor métrico no tienen una interpretación física.

Consulte este tutorial para mi aplicación de Android tensorcalc

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Para una explicación mucho más agradable con diagramas y ejemplos.

Los tensores son el término más común utilizado para representar comúnmente vectores y escalares y cantidades en una dimensión mucho más alta. Tal como un escalar es un tensor de orden 0, un vector es un tensor de primer orden y encontramos análisis de tensor mucho más complicados en dimensiones superiores. Ahora viene la pregunta: ¿por qué usamos tensor? El análisis de tensor se utiliza por su versatilidad. Se usa en física relativista, gradiente de un vector, etc. Normalmente se usa en relatividad general de manera amplia. El concepto de cantidades covariantes y contravariantes se da en términos de cálculo tensorial. También se puede usar para definir el estrés, una cantidad de tensor. A medida que divide la fuerza por área, siendo ambas cantidades vectoriales, se produce una cantidad tensora, denominada tensión.

Agregando a lo que dijeron los comentaristas anteriores, mientras que los términos en sí mismos pueden no tener mucha relevancia física. Sin embargo, el tensor métrico en sí mismo es sumamente importante.

1. La métrica proporciona una noción de “pasado” y “futuro”.
2. Permite calcular la longitud del camino y la longitud adecuada
3. Determina la “distancia más corta” entre diferentes puntos
4. Reemplaza el campo gravitacional newtoniano
5. Una noción de marcos localmente inerciales
6. Noción generalizada del producto punto.

Fuente; La geometría espacio-temporal de Sean Carroll.

La verdad es que el significado físico de los términos individuales en el tensor métrico es mucho menos importante de lo que inicialmente podría pensar, y aquí está el por qué.

En relatividad general, el tensor métrico siempre se puede diagonalizar para tener -1,1,1,1 como diagonal. Lo que esto significa es que si tiene una partícula de prueba que cae libremente y se acerca a una escala de longitud lo suficientemente pequeña, el espacio-tiempo se verá especialmente relativista.

¿Qué te dice esto? Le dice que cada uno de estos términos son realmente factores de “estiramiento” para diferentes direcciones de 4 vectores en el espacio-tiempo en un marco de referencia particular (no intertial). Puede verificar esto expresando cada término en la matriz como productos vielbein desde una base particular.

En primer lugar, no entiendo muy bien qué es un tensor. He tomado cursos sobre tensores y puedo manipularlos, y tengo una especie de comprensión física sobre lo que representan algunos de ellos, pero me cuesta definir qué es un tensor. Aún así, lo que puedo decir sobre ellos puede ayudar a otros a sentirlos también, así que aquí va.

Un tensor es una descripción sobre lo que sucede en una dirección debido a lo que sucede en otras direcciones. Bastante vago, ¿eh? Déjame dar un ejemplo.

El tensor de inercia. Este elemento tensor captura la relación entre la velocidad angular y el momento angular para un cuerpo rígido. Es posible que haya aprendido que H = I omega. H es el momento angular en Nms O kg-m ^ 2 / s. I es momento de inercia en kg-m ^ 2. Omega es la velocidad angular en rad / seg. Pero esta forma simplificada supone que todo sucede sobre un eje: el eje de la revolución. Esta es una ecuación escalar. Se puede generalizar en el tensor de inercia y luego captura el vector de momento angular en relación con el vector de velocidad angular. Sería realmente útil en este momento si supiera cómo crear ecuaciones complicadas en Quora usando LaTeX. Pero yo no.

El momento angular es un vector (Hx, Hy, Hz). Sin embargo, sería mejor escribir eso como un vector de columna, para que podamos usar la multiplicación de matrices. Entonces, la imagen es un vector de columna. Del mismo modo, la velocidad angular es un vector (omega_x, omega_y, omega_z). Nuevamente, imagine que es un vector de columna.

El tensor intertia puede escribirse como una matriz de valores 3 × 3.

Ixx, Ixy, Ixz
Iyx, Iyy, Iyz
Izx, Izy, Izz

Imagine grandes corchetes alrededor de esa matriz.

H (vector) = I (tensor) veces (multiplicación de matriz) omega (vector)

Imagine cómo se vería eso en forma de matriz spiffy. Lo has visto antes.

Ahora haz la multiplicación de la matriz. Obtendrás tres ecuaciones. Aquí está el primero:

Hx = Ixx omega_x + Ixy omega_y + Ixz omega_z

La primera parte de eso, Hx = Ixx omega_x, es la misma familiar que se le enseñó por primera vez para la rotación sobre un solo eje y la geometría es agradable y simétrica como un volante. Pero esta ecuación más compleja también muestra que la componente x del momento angular tiene valores debido a las velocidades angulares sobre los otros dos ejes. El tensor de inercia captura ese aspecto. Explica la precesión y los extraños efectos giroscópicos que parecen mágicos.

El tensor de inercia que describí anteriormente es una matriz de 9 números. Pero no se trata de cualquiera de los 9 números antiguos. Estos números están relacionados entre sí de cierta manera para que funcionen como un tensor con algún significado físico. Por ejemplo, resulta que Ixy = Iyx, así como las otras entradas fuera de diagonal. Este tensor es una matriz simétrica. Por lo tanto, en realidad solo tiene 6 valores independientes, no 9.

Este tensor se puede describir en un marco de referencia diferente si se desea. En ese caso, los valores serán diferentes. Pero lo físico subyacente no ha cambiado. Es como los componentes de un vector de velocidad. La velocidad es una cierta velocidad en una determinada dirección. Puede tener diferentes componentes x, y y z dependiendo de cómo estén orientados sus ejes, pero la velocidad en sí es esa cosa de flecha con una magnitud y dirección. No cambia su estado físico cuando escribe componentes en diferentes sistemas de coordenadas. Lo mismo con los tensores. Representan una condición física subyacente de la cosa a la que se refieren. El tensor de inercia es así. Es una propiedad de un cuerpo rígido.

Otro tensor físico con el que estoy familiarizado es el tensor de estrés en un sólido. sigma_xx es el esfuerzo (fuerza por unidad de área) que actúa en la dirección x debido a una fuerza que actúa en la dirección x. sigma_xy es el esfuerzo en la dirección x debido a una fuerza que actúa en la dirección y. Este es un esfuerzo cortante. Es la tensión a lo largo de una superficie debido a un trozo de cinta pegada a la superficie y tiras de la cinta a lo largo de la superficie. Eso es un esfuerzo cortante. Estás tirando en la dirección y, pero está actuando en la superficie x. Este tensor de estrés también se puede expresar en diferentes sistemas de coordenadas, pero la cosa física subyacente a la que se refiere no depende de sistemas de coordenadas.

Los dos ejemplos que describí son cosas físicas que comencé a entender como ingeniero mientras trabajaba con ellos después de una temprana introducción matemática teórica a los tensores cuando estaba en la universidad.

Espero que esta explicación ondulada sea de alguna ayuda, incluso si no es tan rigurosa.

La explicación está aquí:

La respuesta de Krishna Yaddanapudi a ¿Qué es el tensor? ¿Cuál es el significado físico de esto?

Bueno, no creo que haya un “tensor físico”, un tensor es un tensor.

Requisitos para ser tensor:

Es una función multilineal que toma vectores y vectores duales como entrada y genera un número real. La cantidad de vectores y dobles que consume el tensor depende del rango del tensor.

Un objeto que satisface la ley de transformación de tensor (esto se puede buscar fácilmente, lo mismo ocurre con la primera definición, (La página de wikipedia sobre tensores es buena hasta donde recuerdo)

Hay definiciones más abstractas que son irrelevantes en física, o simplemente soy demasiado ignorante para saber acerca de sus aplicaciones.

Tensor es un tipo de vectores de diferente rango, 0 es escalar, 1 es un vector, 2, es un tensor, etc. Para obtener más información y detalles, visite http://www.quantumechanicbook.com . O puede pensarlo ya que está hecho de una métrica como el tensor Einstein Guv, que está hecho de una matriz. Por ejemplo, el tensor de energía-momento Tuv, en la ecuación de relatividad general de Einstein, que actúa para curvar el espacio-tiempo.

* desplaza hacia abajo la lista completa de respuestas *

Esto, gente, es por qué no enviamos profesores de Matemáticas o Física para hacer el trabajo de un maestro de escuela primaria.

Paginar a alguien, cualquiera, por favor , ¿quién puede explicarnos esto como si fuéramos seis?

Me gustaría ver el estrés de ingeniería (fuerza / área) que actúa sobre una cara. Me parece que este desafío es intuitivo. Una vez que comprenda esto, relacionelo con una matriz

https://en.wikipedia.org/wiki/Ca …

Gran explicación con accesorios ilustrativos del profesor Dan Fleisch. Explica algunos conceptos de vector y tensor de la Guía del estudiante para vectores y tensores.