Si una moneda tiene un 50% de posibilidades de aterrizar cola o cabeza, ¿qué significa eso realmente? ¿No es posible predecir al 100% cómo aterrizaría la moneda?

El modelo de P (Caras) = ​​P (Colas) = ​​0.5, es un modelo simplificado e idealista con el supuesto de que la moneda es perfecta y solo tiene dos resultados posibles. En realidad, esto no es cierto y existe alguna forma de sesgo, como la condición inicial (qué lado está arriba, las condiciones climáticas) y la marca de la moneda (qué lado es más pesado). Al lanzar la moneda un número predeterminado de veces, podemos estudiar el efecto del sesgo y luego comentar la probabilidad de manera realista.

Es posible predecir cómo caerá la moneda siempre que sepa qué fuerzas se están aplicando a la moneda, el arrastre de la moneda, el peso de la moneda, la posición final de la moneda donde será atrapada o aterrizará, etc. tiene suficiente información, puede predecir cómo caerá la moneda con un nivel de confianza variado, dependiendo de la cantidad y el uso de la información proporcionada. Por lo tanto, con suficiente información (leer toda), podrá predecir el resultado con una precisión del 100%.

Me gustaría agregar un video muy bien hecho en líneas similares hechas por Michael Stevens en Vsauce. El video aborda la pregunta en el primer minuto y continúa discutiendo sobre la aleatoriedad.

¡La probabilidad de un resultado de un experimento aleatorio no te dice cuál sería el resultado si realizaras el experimento ahora!

Permíteme darte una explicación detallada de lo que significa decir que la probabilidad de que ocurra un evento es regular.

Por ejemplo, consideremos el experimento aleatorio de tirar un dado.

Este dado es un dado perfecto y todos sus resultados son igualmente probables. Esto equivale a decir que si tira el dado ahora, puede obtener CUALQUIER número del dado como resultado.

Ahora, si comienza a tirar el dado y realiza el experimento aleatorio durante un gran número de veces, resulta que el número de veces que obtiene un 1 en el dado es casi igual al número de veces que obtiene un ‘ 2′ o un ‘3’, o un ‘4’, o un ‘5’, o un ‘6’ en el dado.

Ahora, si su dado es perfecto y si realiza el experimento durante un número muy, muy, muy grande, resulta que obtiene el resultado 1 casi una sexta parte de las veces.

En otras palabras, la proporción del número de veces que obtiene un 1 como resultado del número total de veces que realizó el experimento , se acercará a 1/6 a medida que realiza el experimento aleatorio un número infinito de veces.

Este es el significado que uno tiene que derivar de la declaración:

“La probabilidad de obtener un 1 en el dado es 1/6”

Nunca te dice qué resultado obtendrás si lanzas el dado ahora.

Y, a su pregunta, yo diría que NO . Es imposible decir de qué lado caería la moneda. Además, si fue lo suficientemente inteligente como para fabricar una moneda en la que la probabilidad de obtener una cara es, digamos 73.675%, incluso entonces, eso no le ayuda en ningún sentido a decir qué lado aparecería si tirara la moneda ahora. Pero, esencialmente te dice que obtendrás cabezas más veces. ¡Además, también te dice que obtienes caras exactamente el 73,675% de las veces que lanzaste el dado una vez que lo has hecho exactamente un número infinito de veces!

Esto es lo que te dice la probabilidad clásica.

Sin embargo, existe este concepto llamado ” Expectativa”, donde se toma el promedio ponderado de los resultados sobre las probabilidades correspondientes, para determinar qué resultado es más probable que ocurra si realizara el experimento aleatorio ahora.

Creo que entiendo lo que realmente estás preguntando. Se trata del determinismo.

Teóricamente, el universo es determinista. Dado el estado exacto del universo en un momento dado y las fuerzas exactas aplicadas a la moneda, sí, siempre dará como resultado el mismo resultado.

SIN EMBARGO, el Universo es extremadamente complejo. E incluso los sistemas simples pueden exhibir un comportamiento impredecible tan pronto como las partes comiencen a interactuar. Esta es la esencia de la teoría del Caos, que algo que es determinista aún puede ser, a todos los efectos, impredecible.

El lanzamiento de la moneda es muy caótico.

Editar: solo para que quede claro, ya que apareció en los comentarios. El universo a nuestra escala es determinista. Es decir, los eventos que podemos crear o percibir directamente son deterministas.

En el nivel cuántico, lo mejor que podemos medirlo indirectamente, las cosas parecen más estocásticas (una gran palabra que significa impulsado por las probabilidades), sin embargo , es un gran error tratar de aplicar la mecánica cuántica a eventos de escala no cuántica. Cuando uno sigue eso hasta su conclusión lógica, rápidamente se obtienen resultados claramente falaces, como el famoso gato de Schrödinger, que está vivo y muerto a la vez.

Claramente, un gato no puede estar vivo o muerto. La conclusión es el resultado de esta combinación inadecuada de escalas. Las partículas cuánticas existen y se mueven con diferentes reglas que luego hacemos a nivel macro.

Simetría

Nos parece que hay una simetría en una moneda. Puede darle la vuelta, y se ve más o menos igual después de darle la vuelta. Ese no sería el caso con una moneda doblada, pero una moneda típica tiene una simetría.

Del mismo modo, un dado tiene una simetría de 6 veces.

Del mismo modo, si pones 5 bolas verdes en una urna y 7 bolas rojas en una urna, también hay una simetría entre las 12 bolas.

Cuando existe tal simetría, asignamos la misma probabilidad a todos los resultados. Cara y cruz tienen la misma probabilidad, es decir, 1/2. Las seis caras de un dado tienen la misma probabilidad, 1/6. Elegir cualquier bola de la urna (sin mirar, por supuesto) tiene la misma probabilidad, 1/12.

Hay leyes de la física que, en principio, podrían decirnos cómo aterrizaría una moneda con un conocimiento completo, pero no podemos usarlas porque no podemos recopilar ese conocimiento, y es probable que no podamos realizar los cálculos en cualquier caso.

Falta de simetría

Cuando no hay simetría, no tiene sentido asignar la misma probabilidad a los resultados. Por ejemplo, si tiro una pelota a la luna, hay dos resultados: (1) aterriza en la luna, (2) no lo hace. Si hubiera algún tipo de simetría que pudiéramos aplicar al aterrizaje de intercambio y no al aterrizaje, entonces sería apropiado asignar 1/2 a cada resultado. No hay Se debe utilizar algún principio distinto de la simetría para asignar probabilidades a estos resultados.

Esta es realmente una pregunta epistémica basada en la teoría de la información.

Si no sabe absolutamente nada acerca de la moneda, excepto por las probabilidades establecidas, entonces no puede predecir nada. Por lo tanto P (cabezas) = ​​P (colas) = ​​0.5. Estas son probabilidades a priori .

Ahora, supongamos que sabes algo sobre la moneda. Podría ser su distribución de peso, podrían ser las fuerzas que se le aplican cuando se arroja en comparación con una tabla que muestra los resultados de una moneda justa en comparación con un conjunto de fuerzas de aplicación diferentes, etc. Todo eso es información . Cuanta más información conozca sobre la moneda, su lanzamiento, su vuelo, su aterrizaje, habrá menos incertidumbre. A medida que esa información aumenta, en principio ahora puede comenzar a predecir mejor cómo caerá la moneda. Si llega a un punto de tener información absoluta y completa, entonces puede predecir con absoluta certeza cómo aterrizará.

Esta es una respuesta menos matemáticamente precisa y más cualitativa a la pregunta. Para una respuesta más precisa, Mark Eichenlaub es difícil de superar, especialmente debido a su discusión sobre las probabilidades bayesianas, uno de mis favoritos personales.

Hay muchas interpretaciones diferentes de lo que significa:

• Si lanzo la moneda [matemáticas] n [/ matemáticas] veces, espero caras [matemáticas] n / 2 [/ matemáticas] veces y colas [matemáticas] n / 2 [/ matemáticas] veces.
• Significa [matemática] p (\ text {head}) = p (\ text {tail}) = 0.5 [/ math]
• Significa que los lanzamientos de la moneda son independientes: [matemática] p (\ text {head} | \ text {tail before}) = p (\ text {head}) [/ math] – la probabilidad no cambia debido a voltea

En física cuántica , diríamos que la moneda representa el estado puro de
[matemáticas] | \ psi \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left (| \ text {head} \ rangle + | \ text {tail} \ rangle \ right) [/ math]
donde no sabemos el resultado hasta que lo volteamos, y una vez que lo volteamos, ese es el resultado para ese estado en particular [es una analogía terrible, lo admito].

En informática , los resultados probablemente se representarían con un árbol binario:

donde 0 es el resultado de obtener cabeza, y 1 es el resultado de obtener cola. Este árbol binario representa todos los resultados de dos lanzamientos de una moneda:

00 – cabeza cabeza
01 – cola de cabeza
10 – cabeza de cola
11 – cola cola

y dado que cada resultado es igualmente probable, podemos dar a cada rama en la parte inferior una probabilidad de [matemáticas] 1/4 [/ matemáticas] (simplemente contando).

Pero esto también se deduce de las leyes de probabilidad, ya que la probabilidad de obtener un resultado (cabeza o cola) después de obtener un resultado (cabeza o cola) es simplemente [matemática] 1/2 \ veces 1/2 = 1/4 [ /matemáticas].

La medición de la posibilidad de ocurrencia tomando muchos datos solo le indica las posibilidades de porcentaje. No le da los datos para predecir cualquier ocurrencia que enfrentará la moneda. Pero esa es la ciencia de la probabilidad.

Parece que la física es confusa en la pregunta, que es una ciencia diferente. Sí, puede medir todas las fuerzas e interacciones que entran en el movimiento de la moneda y predecir numéricamente los resultados de un conjunto específico de acciones de entrada. Pero no hay probabilidad en eso. Usted está midiendo los ángulos del pulgar, las velocidades iniciales, el peso de la moneda, etc., y eso produce un solo resultado, no una probabilidad.

Aunque me gusta la respuesta de Mark Eichenlaub, hay algunas cosas que diría de manera diferente.

Primero, no hay realmente ninguna necesidad de tener una noción formal de entropía para obtener una probabilidad subjetiva, o la noción de que la probabilidad varía con la información que tienes.

En segundo lugar, la interpretación bayesiana que afirma se presta fundamentalmente al juego (¡uno de mis temas favoritos!). Su probabilidad subjetiva solo se define hasta el diferencial de oferta y demanda que haría en la propuesta. Tenga en cuenta que esto significa que si no está dispuesto a apostar por sus creencias (y apostar una cantidad significativa para usted), descarto mucho su opinión.

Para demostrar aún más la naturaleza subjetiva de la probabilidad, considere la siguiente situación:
Tengo una moneda que te digo que es justa. Estoy dispuesto a dejar que pague $ 0,45 para apostar que le dará cara, en cuyo caso le pagaré $ 1. Si aterriza colas, te pago $ 0. ¿Cuál es la probabilidad real de que la moneda caiga cara?

¿Por qué le ofrecería una apuesta de expectativa positiva? IE, ¿por qué estaría dispuesto a perder dinero en promedio? Se te ocurren varias posibilidades de inmediato, todas las cuales debes considerar en consecuencia:

1. Te estoy mintiendo y la moneda está cargada. La probabilidad de que la moneda caiga cara es menor al 45%.
2. Estoy diciendo la verdad, pero quiero que te guste, así que estoy bien perdiéndote algo de dinero.
3. Estoy diciendo la verdad, pero tengo mucho más dinero que usted y cuento con que no sepa cómo administrar su bankroll y que caiga presa de la ruina de Gambler (vea la ruina de Gambler)
4. Estoy diciendo la verdad, y estoy simplemente de ánimo caritativo.
5. Estoy diciendo la verdad, pero el valor del entretenimiento que obtengo al permitirle ganar excede el valor del dinero que pierdo.
6. Estoy diciendo la verdad, pero solo voy a hacer esta apuesta una vez, así que el dinero no es realmente importante para mí.

Y, por supuesto, el simple hecho de que haya 6 opciones y solo una sea una mentira no significa que haya una probabilidad de 1/6 de que estoy mintiendo.

Y en el caso de que ESTOY mintiendo, sigue siendo una pregunta abierta en cuanto a la probabilidad real. Tal vez quiero ir a la quiebra para que la moneda esté muy manipulada (por ejemplo, 20% de posibilidades de cara). O tal vez esta es una estafa larga, por lo que la moneda apenas está manipulada (por ejemplo, 44% de posibilidades de cara).

La probabilidad que asigne a cada uno de estos casos dependerá en gran medida de su evaluación de mi carácter, que es inherentemente subjetivo.

Entonces, para su noción 100%: ¿qué tan seguro está de sus mediciones? ¿Qué probabilidades harías? Tenga en cuenta que 100% de certeza significa que ofrecerá infinidad: 1 probabilidad: tomaría todo su dinero si se equivoca y no tomaría ninguno de los míos si tuviera razón. Es posible que desee repensar su noción de probabilidad.

Prueba el experimento tú mismo. Lanza una moneda 100 veces. Tenga en cuenta el resultado. Es posible que no obtenga un 50/50 perfecto. Pero, si recuerdo correctamente de la clase de biología de la universidad, cuanto más lo voltee, más probabilidades tendrá de obtener un 50/50 perfecto.

Hay un 50% de posibilidades de que muevas cara o cruz. Sin embargo, cuando lanza monedas, puede comenzar lanzando 7 caras consecutivas. No existe una fuerza mágica que garantice que el próximo giro sea opuesto. Solo después de lanzar la moneda varias veces, puede ver que los números comienzan a promediar a 50/50. De alguna manera esto demuestra la importancia del tamaño de la muestra.

Si se dice que una moneda ideal tiene un 50% de posibilidades de caer sobre la cabeza o la cola, eso significa que el resultado será verdaderamente aleatorio y no hay forma de predecir el resultado.

Pero en la vida real, si lanza una moneda, es posible predecir el resultado, dadas las condiciones iniciales de la moneda, por lo que el proceso real es como un generador de números binarios pseudoaleatorios. Consulte: Secuencia binaria pseudoaleatoria, es decir, simulará aproximadamente los resultados de Una moneda ideal. Las monedas en la vida real pueden estar sesgadas de acuerdo con la forma en que se voltean, y sus distribuciones en masa, etc.

Todos estos pensamientos suponen, por supuesto, que el cambio es exactamente el mismo cada vez. Si se lanza exactamente la misma moneda en una posición más alta o más baja al suelo o si se encuentra en diferentes condiciones de temperatura, humedad o viento, ¿qué debemos esperar? ¿Qué pasa con la velocidad de rotación en esta relación? Si se cambia a otra mano o persona, ¿cómo entra esto en nuestros pensamientos sobre la aleatoriedad? Después de todo, la premisa es meramente, ¿no es posible predecir al 100% cómo aterrizaría la moneda?

En primer lugar, si se conocieran las condiciones iniciales de la moneda, el resultado del lanzamiento sería predecible. Sin embargo, existe una mezcla de condiciones (posición de la moneda, fuerza sobre la moneda, condiciones ambientales como el flujo de aire, etc.) que -suponemos- que el conjunto de condiciones que favorecen las cabezas tiene la misma “medida” que el conjunto de condiciones favoreciendo colas. O dicho de otra manera, no podemos encontrar una razón suficiente para que una moneda equilibrada caiga más de una manera que de la otra dada una gran cantidad de lanzamientos.

Significa que con el tiempo después de lanzar la moneda repetidamente verá 50% de colas y 50% de cara. No puede predecir con certeza lo que revelará el próximo lanzamiento de la moneda, pero puede predecir cuál será la distribución a largo plazo.

Significa que la moneda puede aterrizar como una cabeza o una cola. También significaría que hay dos posibilidades y que ambas son posiblemente iguales.

Sería diferente, en caso de que la moneda tuviera caras en ambos lados (The Cuckoos Nest Magic Shop Pittsburgh PA, Your Source For Magic – Toll Free 1 (888) 85MAGIC). Significa que solo hay un aterrizaje posible y puedes predecirlo al cien por cien en cada lanzamiento.

Si lo intentas infinitas veces, tu predicción será 100% precisa. Pero como nadie puede alcanzar el infinito, siempre habrá un error en su predicción.
Uno solo puede reducir ese error aumentando el número de intentos.