Lo que esto dice es que le dan una muestra que contiene dos tipos diferentes de átomos, A y B, ambos si son radiactivos y emiten partículas beta (electrones o positrones). Sin embargo, los dos tipos de átomos emiten las partículas a diferentes velocidades por átomo , digamos [math] r_A [/ math] y [math] r_B [/ math]. Esto significa que las poblaciones [matemáticas] N_A [/ matemáticas] y [matemáticas] N_B [/ matemáticas] de los átomos A y B tienen dependencias temporales descritas por
[matemáticas] \ frac {dN_A} {dt} = – r_A N_A [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {dN_B} {dt} = – r_B N_B [/ matemáticas]
Es decir, la tasa de cambio de cada población es proporcional a la población respectiva. La solución a ambas ecuaciones son funciones exponenciales,
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[matemáticas] N_ {A / B} (t) = N_ {A / B} (0) e ^ {- r_ {A / B} t} [/ matemáticas]
La “actividad de preparación” es la tasa de descomposición [matemática] R [/ matemática] de ambas poblaciones. Para cada población, esta tasa es la derivada de tiempo (negativa) de esta función exponencial,
[matemáticas] R_ {A / B} (t) = r_ {A / B} N_ {A / B} (0) e ^ {- r_ {A / B} t} = R_ {A / B} (0) e ^ {- r_ {A / B} t} [/ matemáticas]
La actividad total [matemática] A [/ matemática] es la suma de las dos tasas,
[matemáticas] A (t) = R_A (0) e ^ {- r_A t} + R_B (0) e ^ {- r_B t} [/ matemáticas]
Lo que debe hacer es ajustar esta función a sus datos y extraer los valores [matemática] N_A [/ matemática], [matemática] N_B [/ matemática], [matemática] r_A [/ matemática] y [matemática] r_B [/ matemática ] La vida media [matemática] \ tau_ {1/2} [/ matemática] de un isótopo se define como el tiempo que necesita esperar a que la mitad de los isótopos en una muestra decaiga, o
[matemáticas] N (\ tau_ {1/2}) = N (0) e ^ {- r \ tau_ {1/2}} = \ frac {1} {2} N (0) [/ matemáticas]
Puede usar esa relación para obtener la relación entre [matemáticas] r [/ matemáticas] y [matemáticas] \ tau_ {1/2} [/ matemáticas].
