Otras respuestas discuten por qué es difícil resolver Navier-Stokes analíticamente ; Daré una idea de por qué son difíciles de resolver numéricamente .
La respuesta corta es que todas las escalas están acopladas entre sí, lo que significa que los pequeños errores en las escalas más pequeñas finalmente tendrán grandes efectos en la solución general. Debido a que los métodos numéricos necesariamente introducen errores a escalas pequeñas (porque estás aproximando el espacio continuo con una cuadrícula finita), es difícil evitar errores.
Para ilustrar, veamos la ecuación de Navier-Stokes, escrita en una forma compacta:
[matemáticas] D (\ rho u) / Dt = – \ nabla p + \ nu \ nabla ^ 2 \ rho u [/ matemáticas]
Esto es solo F = ma, excepto que está invertido: el lado izquierdo es ma (la derivada de la velocidad es la aceleración, la densidad toma el lugar de la masa) y el lado derecho son las fuerzas.
Aquí hay dos fuerzas. El primer término es el gradiente de presión: el fluido fluye de alta presión a baja (el signo menos se debe a que es de mayor a menor, no de menor a mayor). El segundo término es fricción debido a la viscosidad ([matemática] \ nu [/ matemática]).
Ahora imagine el flujo alrededor de un automóvil que se mueve a 60 mph. En ese flujo, el término de gradiente de presión es aproximadamente un millón de veces mayor que el término de fricción. (Esa proporción es más o menos el número de Reynolds). Entonces, podría pensar: dado que el segundo término es una millonésima del tamaño del primero, simplemente dejemos ese término y resolvamos lo que queda. Pero si deja caer el segundo término, ¡el coeficiente de arrastre alrededor de cualquier objeto es idénticamente cero!
Esto muestra cómo se acoplan las escalas: a pesar de que el segundo término es una millonésima del tamaño, su caída cambia drásticamente el resultado. Lo que sucede es que está muy cerca de la superficie del automóvil (la capa límite), los dos términos tienen aproximadamente el mismo tamaño, por lo que el término de viscosidad tiene un efecto significativo en el flujo. Debido a que todas las escalas están unidas, el flujo en la capa límite afecta lo que se encuentra justo afuera, lo que a su vez afecta lo que está fuera de eso, cayendo en cascada hasta la escala general del objeto. Y listo, hay una fuerza de arrastre general distinta de cero en el automóvil.
Aquí hay otra ilustración dramática de ese acoplamiento, un experimento llamado el cable de disparo Prandtl. Primero, fluya alrededor de una esfera perfectamente lisa:
Ahora, un cable muy delgado, cuyo diámetro es inferior a 1/100 del diámetro de la esfera, aplicado justo aguas arriba del ecuador:
Observe cómo el flujo es dramáticamente diferente. El coeficiente de arrastre en la segunda imagen es aproximadamente un tercio de lo que es en la primera imagen. (Contra intuitivamente, la turbulencia adicional causada por el cable de disparo hace que disminuya el arrastre general, porque cambia el flujo cerca de la superficie, de modo que la separación del flujo ocurre mucho más abajo que en la primera imagen). Nuevamente: una pequeña perturbación tiene Un efecto dramático general. Si estaba tratando de resolver las ecuaciones NS, podría verse tentado a sacar el cable de disparo de la imagen para simplificar su condición de contorno. Pero la respuesta es muy diferente.
Para simulaciones numéricas, los pequeños errores introducidos por la cuadrícula finita pueden tener el mismo efecto en cascada. Y eso es lo que hace que sea tan difícil resolver las ecuaciones NS numéricamente.
Una forma alternativa de resolver un problema de flujo de fluido es el método Lattice Boltzmann. En este método, las ecuaciones NS no se resuelven en absoluto. En cambio, el fluido se modela como partículas que interactúan, al igual que en la vida real, pero usando muchas menos partículas que las moléculas de aire, y usando partículas que solo se mueven con ciertas velocidades definidas. Con algo de trabajo, es posible idear un sistema de partículas de este tipo para que tenga las mismas estadísticas macroscópicas que las moléculas de aire reales. Es decir, cuando promedia el sistema Lattice Boltzmann sobre todas las partículas, obtiene las ecuaciones NS en el límite continuo, tal como lo hace cuando promedia las estadísticas de las moléculas de aire reales. Pero este sistema de partículas de velocidad finita puede ser simulado por una computadora sin hacer ninguna aproximación, por lo que obtienes un flujo de fluido exactamente correcto, sin resolver ninguna PDE. Esta es la base del producto comercial PowerFLOW, utilizado por todos los fabricantes de automóviles del mundo para la simulación aerodinámica exterior.
