En pocas palabras, la integral de Grassmann tiene el mismo propósito que la integral “regular” (Riemann), pero las variables en las que se integra tienen valores en números de Grassmann en lugar de números “regulares” (reales / complejos).
Los números de Grassmann son los mismos que los números “regulares”, excepto que son anticomunitarios . Si [math] x, y [/ math] son números “regulares”, que conmutan cuando se multiplican, y [math] \ theta, \ phi [/ math] son números de Grassmann, que anticommutan, entonces tenemos:
[matemática] xy = yx [/ matemática] (los números regulares conmutan)
[matemáticas] \ theta \ phi = – \ phi \ theta [/ matemáticas] (números de Grassmann anticomuta)
[matemáticas] x \ theta = \ theta x [/ matemáticas] (los números regulares conmutan con los números de Grassmann)
Estos números se usan principalmente al calcular integrales de ruta para campos fermiónicos, que son campos anticomutantes . Si los campos anticomutan, entonces es muy útil representarlos anticomutando números.
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Las integrales de Grassmann tienen muchas propiedades agradables. Por ejemplo, si [math] \ theta [/ math] es un número de Grassmann, entonces se muta a sí mismo:
[matemáticas] \ theta \ theta = – \ theta \ theta [/ math]
entonces:
[matemáticas] \ theta ^ 2 = – \ theta ^ 2 [/ matemáticas]
y por lo tanto:
[matemáticas] \ theta ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
(el único número que equivale a su propio negativo es cero).
Esto hace que el cálculo de integrales Grassmann de una variable sea muy fácil. Si expandimos una función [math] f (\ theta) [/ math] en una serie de Taylor:
[matemáticas] f (\ theta) = A + B \ theta + C \ theta ^ 2 + \ cdots [/ math]
inmediatamente vemos que todos los términos de orden 2 y superiores en [math] \ theta [/ math] desaparecen (porque [math] \ theta ^ 2 = 0 [/ math]). Entonces la expansión de Taylor es exactamente
[matemáticas] f (\ theta) = A + B \ theta [/ matemáticas]
¡Esto significa que la integral de Grassmann en cualquier función (analítica) de una variable es simplemente una integral en una función lineal !
Pero, este no es el final; podemos simplificar esto aún más de la siguiente manera. Queremos que la integral de Grassmann en [math] \ theta [/ math] sea invariante bajo un cambio [math] \ theta \ to \ theta + \ phi [/ math], donde [math] \ phi [/ math] también es un Número de Grassmann. Por lo tanto, exigimos que el resultado de la integral permanezca igual después del cambio:
[matemáticas] \ int (A + B \ theta) \ mathrm {d} \ theta = \ int (A + B (\ theta + \ phi)) \ mathrm {d} \ theta [/ math]
[matemáticas] = \ int ((A + B \ phi) + B \ theta) \ mathrm {d} \ theta [/ math]
Tratemos el resultado de la integral como una función de los coeficientes [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática]:
[matemáticas] \ int (A + B \ theta) \ mathrm {d} \ theta \ equiv F (A, B) [/ matemáticas]
Entonces tenemos:
[matemáticas] F (A, B) = F (A + B \ theta, B) [/ matemáticas]
Dado que esta función también es una función de Grassmann, también debe ser lineal (por la misma razón [math] f (\ theta) [/ math] era lineal; todos los términos de orden 2 o más deben desaparecer). Si una función lineal de [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] permanece sin cambios cuando [matemática] A [/ matemática] cambia, entonces solo debe depender de [matemática] B [/ matemática]. Convencionalmente, definimos esta función para que sea simplemente igual a [math] B [/ math]. (Esta definición se debe a Berezin).
Entonces, en conclusión, para cualquier función de una variable de Grassmann [matemática] f (\ theta) [/ matemática], la integral de Grassmann se evalúa como:
[matemáticas] \ int f (\ theta) \ mathrm {d} \ theta = \ int (A + B \ theta) \ mathrm {d} \ theta = B [/ math]
Donde [math] B [/ math] es el coeficiente del término lineal en [math] \ theta [/ math] en la expansión de Taylor de [math] f (\ theta) [/ math]. ¡No puede ser más simple que eso!
