Escriba el Hamiltoniano unidimensional general.
[matemáticas] \ hat {H} = \ frac {1} {2 \, m} \ hat {p} ^ 2 + \ hat {V} (x) [/ math]
Lo que debe escribirse es el siguiente emparedado de estado fundamental del conmutador.
- ¿Por qué "The Infinite Hotel Paradox" no se considera una paradoja?
- ¿Es la porosidad una cantidad escalar, vectorial o tensorial? ¿Qué tal una porosidad efectiva?
- ¿Puede la proyección escalar ser negativa?
- ¿Debo dejar de aprender cálculo si sigo cometiendo errores?
- Si el volumen de un cubo aumenta en un 125%, ¿cuál es el incremento en la longitud de la diagonal?
[matemáticas] \ langle 0 | [\ hat {x}, [\ hat {H}, \ hat {x}]] | 0 \ rangle = \ langle 0 | [\ hat {x}, [\ frac {1} {2m} \ hat {p} ^ {2}, \ hat {x}]] | 0 \ rangle = \ frac {1} {2m} \, \ langle 0 | [\ hat {x}, [\ hat {p} ^ {2}, \ hat {x}]] | 0 \ rangle [/ math]
Vamos a trabajar con los operadores en el sandwich.
[matemáticas] [\ hat {x}, [\ hat {p} \, \ hat {p}, \ hat {x}]] = [\ hat {x}, (\ hat {p} \ hat {p} \ hat {x} – \ hat {p} \ hat {x} \ hat {p} + \ hat {p} \ hat {x} \ hat {p} – \ hat {x} \ hat {p} \ hat {p})] = [\ hat {x}, (\ hat {p} (\ hat {p} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {p}) + (\ hat {p} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {p}) \ hat {p})] = [\ hat {x}, \ hat {p} [\ hat {p}, \ hat {x}] + [\ hat {p}, \ hat {x}] \ hat {p})] = [\ hat {x}, \ hat {p} (\ frac {\ hbar} {i}) + (\ frac {\ hbar} {i}) \ hat {p})] [/ math]
[matemáticas] = 2 \ frac {\ hbar} {i} [\ hat {x}, \ hat {p}] = 2 \ frac {\ hbar} {i} (i \, \ hbar) = 2 \ hbar ^ 2 [/ matemáticas]
Claramente,
[matemáticas] \ frac {1} {2m} \, \ langle 0 | [\ hat {x}, [\ hat {p} ^ {2}, \ hat {x}]] | 0 \ rangle = \ frac {1} {2m} \, \ langle 0 | 2 \ hbar ^ 2 | 0 \ rangle = \ frac {\ hbar ^ 2} {m}. [/ Math]
Ahora que nos hemos asentado, volvamos a visitar el emparedado del estado fundamental del conmutador.
[matemáticas] \ langle 0 | [\ hat {x}, [\ hat {H}, \ hat {x}]] | 0 \ rangle = \ langle 0 | \ hat {x} \ sum_n | n \ rangle \ langle n | [\ hat {H}, \ hat {x}] | 0 \ rangle – \ langle 0 | [\ hat {H}, \ hat {x}] \ sum_n | n \ rangle \ langle n | \ hat {x} | 0 \ rangle = \ sum_n \ langle 0 | \ hat {x} | n \ rangle \ langle n | [\ hat {H}, \ hat {x}] | 0 \ rangle – \ langle 0 [\ hat {H}, \ hat {x}] | n \ rangle \ langle n | \ hat {x} | 0 \ rangle = \ sum_n \ langle 0 | \ hat {x} | n \ rangle \ langle n | (\ hat {H} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {H}) | 0 \ rangle – \ langle 0 | (\ hat {H} \ hat {x} – \ hat {x} \ hat {H}) | n \ rangle \ langle n | \ hat {x} | 0 \ rangle [/ math]
[matemáticas] = \ sum_n \ langle 0 | \ hat {x} | n \ rangle (E_n \ langle n | \ hat {x} | 0 \ rangle-E_0 \ langle n | \ hat {x} | 0 \ rangle) – (E_0 \ langle 0 | \ hat { x} | n \ rangle- E_n \ langle 0 | \ hat {x} | n \ rangle) \ langle n | \ hat {x} | 0 \ rangle [/ math]
[matemáticas] = \ sum_n \ langle 0 | \ hat {x} | n \ rangle \ langle n | \ hat {x} | 0 \ rangle (E_n-E_0) – (E_0- E_n) \ langle 0 | \ hat {x} | n \ rangle \ langle n | \ hat {x} | 0 \ rangle = \ sum_n \ langle 0 | \ hat {x} | n \ rangle \ langle n | \ hat {x} | 0 \ rangle (E_n-E_0) + (E_n- E_0) \ langle 0 | \ hat {x} | n \ rangle \ langle n | \ hat {x} | 0 \ rangle [/ math]
[matemáticas] = \ sum_n | \ langle 0 | \ hat {x} | n \ rangle | ^ 2 (E_n-E_0) + (E_n- E_0) | \ langle 0 | \ hat {x} | n \ rangle | ^ 2 [/ math]
[matemáticas] = 2 \, \ sum_n (E_n- E_0) | \ langle 0 | \ hat {x} | n \ rangle | ^ 2 [/ math]
Claramente,
[matemáticas] \ langle 0 | [\ hat {x}, [\ hat {H}, \ hat {x}]] | 0 \ rangle = \ frac {\ hbar ^ 2} {\, m} [/ math]
[matemáticas] \ langle 0 | [\ hat {x}, [\ hat {H}, \ hat {x}]] | 0 \ rangle = 2 \, \ sum_n (E_n- E_0) | \ langle 0 | \ hat {x} | n \ rangle | ^ 2 [/ math]
Así,
[matemáticas] \ sum_n (E_n- E_0) | \ langle n | \ hat {x} | 0 \ rangle | ^ 2 = \ frac {\ hbar ^ 2} {2 \, m} [/ math]
