¿Qué es una estructura matemática y qué estructuras interesan a los matemáticos?

Las estructuras matemáticas son la clave para la abstracción en Matemáticas porque enfatizan la forma en que se usan los conceptos en lugar de cómo se definen y codifican. Como ejemplo, una estructura que es común en informática teórica es un semiring, el primer ejemplo son los números naturales con suma y multiplicación. Las leyes de un semiring incluyen las leyes habituales de álgebra en estas operaciones (por ejemplo, asociatividad, distributividad, elementos neutros, etc., pero no la conmutatividad de la multiplicación). Sin embargo, hay otros ejemplos, por ejemplo, en informática teórica consideramos idiomas que son conjuntos de palabras. La suma es la unión de idiomas y la multiplicación son todas las concatenaciones posibles que puedes crear. Dado que estos forman un semirectorio, todas las leyes para los números naturales que se pueden derivar solo usando las leyes de una retención de semisecado también para esta estructura. Además, si se pregunta si un cierto hecho acerca de los números naturales es derivable usando solo las leyes de un semired, puede intentar encontrar un modelo de contador para refutar esto. Por ejemplo, en este caso, verá que la conmutatividad de la multiplicación no se cumple en todos los semirremolques. Yendo aún más lejos, puede ver semirejuntos u otras estructuras algebraicas no en conjuntos sino en un entorno diferente, por ejemplo, espacios topológicos. Esta es la idea básica detrás de la topología algebraica.

Algunas personas piensan que las matemáticas deberían basarse en estructuras y no en conjuntos. Esto se puede precisar mediante la teoría de categorías que enfatiza una visión estructural de las Matemáticas. Aún mejor, uno puede usar la Teoría del Tipo de Homotopía como una base alternativa (en lugar de la teoría de conjuntos) donde podemos derivar el principio de invariancia estructural que dice que dos estructuras que son equivalentes (es decir, isomorfas) son iguales como consecuencia del principio de univalencia.

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Un loto aumenta la mitad de su tamaño todos los días. En 20 días cubre todo el lago. ¿En cuántos días cubrirá la mitad del lago?

¿Cuáles son todos los enteros posibles a y n tales que [matemáticas] \ log _ {\ frac {1} {n}} \ left [\ sqrt {a + \ sqrt {15}} - \ sqrt {a - \ sqrt {15 }} \ right] = - \ frac {1} {2}? [/ math]

Cómo demostrar que el producto de tres enteros pares consecutivos es divisible por 48

Un líquido en equilibrio no puede soportar el estrés tangencial. ¿Por qué?

Si A puede terminar un trabajo en 5 horas y B puede terminar el mismo trabajo en 10 horas, ¿cuántos minutos les tomará a los dos juntos terminar el trabajo?

Por lo general, se vuelve común basar las matemáticas en una teoría de conjuntos. La teoría de categorías es una alternativa, por lo que son (para al menos parte de las matemáticas estándar), la lógica de orden superior. Entonces, hablemos de estructuras teóricas establecidas. En este libro, encontrará una discusión más amplia con referencias a Bourbaki, Suppes y muchas otras personas. En términos generales, una estructura matemática es un conjunto compuesto por uno o más conjuntos y por elementos distinguidos, relaciones y operaciones sobre estos conjuntos. Si las relaciones y operaciones se encuentran entre los elementos de los conjuntos, hablamos de estructuras de orden 1 , y las típicas son consideradas por la teoría de modelos estándar (estas son estructuras de teorías de primer orden). Un ejemplo es la estructura del grupo, que puede describirse como 4-uple [math] \ mathcal {G} = \ langle G, e, \ star, \ prime \ rangle [/ math], donde [math] G [/ math] es un conjunto no vacío, [math] e \ en G [/ math] es un elemento distinguible, [math] \ star [/ math] es una operación binaria sobre [math] G [/ math] y [math ] \ prime [/ math] es una función unaria de [math] G [/ math] a [math] G [/ math]. Los axiomas estándar son postulados. Pero tome ahora un espacio topológico, algo representado (o modelado ) por estructuras de la forma [math] \ mathcal {T} = \ langle X, \ tau \ rangle [/ math], donde [math] X [/ math] es un conjunto no vacío y [math] \ tau [/ math] es una colección de subconjuntos de [math] X [/ math] que obedecen a axiomas bien conocidos. Esta es una estructura típica de orden superior (no orden-1). Otras estructuras de orden superior son ordenamientos bien y muchos otros. Por lo tanto, no todas las estructuras matemáticas son de orden 1. La mayoría de las estructuras adecuadas para disciplinas científicas son de un orden superior, digamos mecánica de partículas clásica, donde tenemos [matemática] \ matemática {P} = \ langle P, T, s, m, f , g \ rangle [/ matemática] ( Saltaré los detalles a los que sugerí el libro mencionado). Entonces, estas son las estructuras que interesan al matemático; En cierto punto de vista, las matemáticas son la ciencia de la estructura (Bourbaki). Pero tenga cuidado con la teoría de conjuntos propiamente dicha. Todas las estructuras anteriores se pueden construir en una teoría establecida como el sistema ZFC. Pero una estructura para ZFC en sí misma, digamos algo como [math] \ mathcal {V} = \ langle V, \ in \ rangle [/ math] (nuevamente, mire el libro), no se puede construir en ZFC (supuestamente consistente) debido al segundo teorema de incompletitud de Gödel. Necesitamos ir más allá, por ejemplo, suponiendo la existencia de un cardenal inaccesible (algo que no se puede demostrar que exista en un ZFC consistente). Por lo tanto, estas grandes estructuras también son del interés del matemático.

Thorsten Altenkirch

Por lo general, de lo que estamos hablando es de una Estructura de Datos .

Una estructura de datos es algún tipo de representación de datos, una lista, un árbol, matriz, gráfico, gramática o máquina, combinada con todas las funciones que desea realizar contra esos datos y todas las funciones que necesita para mantener esos datos. .

Por ejemplo, la estructura de datos para un gráfico puede incluir:

función new_graph (): gráfico de retorno;

función dele_graph (gráfico G): return boolean;

función new_vertex (gráfico G): retorno de vértice;

función del_vertex (gráfico G, v vértice): return boolean;

función new_edge (gráfico G, v1 vértice, v2 vértice): borde de retorno;

función del_edge (gráfico G, borde e): return boolean;

función new_face (gráfico G, V vertex_list): face;

función initial_spanning_tree (gráfico G): árbol;

función shortest_path (gráfico G, v1 vértice, v2 vértice): ruta;

función has_euler_path (gráfico G): boolean;

así como métodos get / set para cada vértice, borde y cara,