“Se puede probar” no es un predicado de un lugar, sino un predicado de dos lugares; es decir, acepta dos entradas, a saber, una declaración y una colección de axiomas. “¿Se puede probar X?” No es una declaración significativa sin especificar alguna colección de axiomas de los que desea probar X.
El teorema de incompletitud muestra, por ejemplo, que la consistencia de la aritmética de Peano (axiomas de Peano) no se puede probar ni refutar de los axiomas de Peano (si la aritmética de Peano es consistente).
Para un ejemplo más “natural” (es decir, uno que obviamente no implica ningún tipo de auto-referencia), el teorema de Paris-Harrington afirma que una cierta versión más fuerte del teorema de Ramsey (http://en.wikipedia.org/wiki/ Ram …) no puede ser probado ni refutado de los axiomas de Peano (de nuevo, si la aritmética de Peano es consistente).
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Otro buen ejemplo es el teorema de Goodstein, que es la afirmación de que un determinado procedimiento iterativo finalmente termina, y que tampoco se puede probar ni refutar a partir de los axiomas de Peano. El teorema de Goodstein puede reformularse como la afirmación de que siempre puedes ganar cierto juego, el juego de la hidra . En términos generales, la razón por la cual esta afirmación no es demostrable en la aritmética de Peano es que la peor estrategia posible para ganar este juego requiere una cantidad de tiempo que crece demasiado rápido en función de la posición inicial; de hecho, crece tan rápido que define una función que la aritmética de Peano no puede probar está definida en todas partes. Puedes leer más e incluso jugar el juego de hidra aquí:
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