¿Existe una conexión matemática profunda entre las operaciones de multiplicación y suma?

Si y no. Digo que sí en el sentido de que la multiplicación y la suma son conceptos más profundos que la versión ingenua que nos enseñan cuando somos niños, pero la relación entre ellos se deriva de una sola propiedad: a (b + c) = ab + ac. Esta es la ley distributiva, que nos enseñan de niños, y captura completamente la relación entre la multiplicación y la suma.

Ahora, digo que la multiplicación y la suma son conceptos más profundos en sí mismos porque conducen a las nociones muy amplias de grupos y anillos, así como a los módulos y álgebras más avanzados estructuralmente.

En lugar de entrar en todo eso, tal vez deberíamos verlo de otra manera. Se nos enseña que la multiplicación es una suma repetida, pero ¿eso realmente capta la definición de multiplicación? Ciertamente puedo decir 2 * 3 = 2 + 2 + 2, pero ¿qué significa cuando escribo [matemáticas] \ frac {1} {2} * \ frac {1} {3} [/ matemáticas]? Bueno, un niño extraordinariamente inteligente podría decir que [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas] multiplicado por un número n es el número m tal que m + m = n, así que es como invertir la repetición de la suma: el la respuesta se agrega a sí misma varias veces para obtener el número original, y la fracción lo deshace. Entonces [math] \ frac {1} {2} * \ frac {1} {3} [/ math] es el número que cuando se agrega a sí mismo da [math] \ frac {1} {3}, [/ math] que sería [matemáticas] \ frac {1} {6}. [/ matemáticas]

Entonces, la multiplicación de fracciones puede tener sentido al usar la definición ingenua de multiplicación, pero ¿qué pasa con [matemáticas] \ pi * \ sqrt {2} [/ matemáticas]? ¿Cómo puedes agregar algo a sí mismo [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] veces? Bueno, aquí es donde necesitamos conceptos más profundos. Utiliza secuencias infinitas de fracciones para construir otra secuencia infinita de fracciones que converge al número deseado. De repente, has pasado de las matemáticas de la escuela primaria al análisis real de 300 niveles. Por lo tanto, es un poco más complicado cuando comienzas a usar números irracionales.

Entonces, la suma, la multiplicación e incluso la definición de un número real son definitivamente más profundas de lo que nos enseñan cuando somos niños, pero la relación real entre la suma y la multiplicación es solo la ley distributiva, que se aplica en todas las estructuras algebraicas que tienen suma y multiplicación. .

La multiplicación se define en términos de suma. En el conjunto de números naturales [matemática] N [/ matemática], podemos probar, usando la teoría de conjuntos, que existen funciones binarias únicas [matemática] + [/ matemática] y [matemática] \ veces [/ matemática] en [matemática ] N [/ math] tal que:

  1. [matemáticas] \ para todos x \ en N: x + 0 = x [/ matemáticas]
  2. [matemáticas] \ para todos x, y \ en N: x + S (y) = S (x + y) [/ matemáticas]
  3. [math] \ forall x \ in N: x \ times 0 = 0 [/ math]
  4. [matemáticas] \ para todos x, y \ en N: x \ veces (y + 1) = x \ veces y + x [/ matemáticas]

donde [math] S [/ math] es la función sucesora habitual en [math] N [/ math] dada por los Axiomas de Peano.

La suma y la multiplicación son operaciones isomorfas, en el siguiente sentido: hay un isomorfismo del grupo de números reales bajo suma, (ℝ, +), al grupo de números reales positivos bajo multiplicación, (ℝ> 0, ×), dado por la función exponencial, x ↦ exp ( x ).

¿Multiplicación y adición de qué?

Dado un anillo [matemático] R [/ matemático], sus conexiones triviales aparecen en la definición, a saber

[matemáticas] a, b, c \ en R [/ matemáticas]

[matemáticas] a (b + c) = ab + ac [/ matemáticas]

[matemáticas] (b + c) a = ba + ca [/ matemáticas]

Cuando tienes conmutatividad de multiplicación son equivalentes.

No hay nada más profundo en esto. A menos que estés hablando de un contexto específico.