Sí, pero la prueba depende de cuáles son tus axiomas. En otras palabras, depende de dónde quiera comenzar. Comencemos bastante lejos. Es decir, supongamos que tenemos un conjunto de objetos, es decir, números , junto con una operación binaria, es decir, suma , que obedecen a las siguientes propiedades:
[matemáticas] a + b = b + a [/ matemáticas] (propiedad conmutativa),
[matemáticas] a + (b + c) = (a + b) + c [/ matemáticas] (propiedad asociativa),
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[matemáticas] a + 0 = a [/ matemáticas] (existencia y unicidad del elemento de identidad),
[matemáticas] -a + a = 0 [/ matemáticas] (existencia de inversas).
Las dos primeras propiedades son probablemente familiares. El tercero establece que existe exactamente un número, a saber, [math] 0 [/ math], que conserva la identidad cuando se agrega a cualquier número. La cuarta propiedad establece que cada número tiene un inverso, lo que significa que un número más su inverso es [math] 0 [/ math] (el elemento de identidad). Tenga en cuenta que el signo menos aquí es solo una notación. Es decir [math] -a [/ math] solo significa el inverso de [math] a [/ math].
De la tercera propiedad anterior, tenemos:
[matemáticas] 0 + 0 = 0. [/ matemáticas]
Usando la cuarta propiedad anterior, reemplacemos cada 0 a la izquierda con un número más su inverso:
[matemáticas] (- a + a) + (- b + b) = 0 [/ matemáticas].
Usando las propiedades primera y segunda anteriores, podemos reescribir esto como:
[matemáticas] ((- a) + (- b)) + (a + b) = 0 [/ matemáticas].
Tenga en cuenta que el inverso de [matemáticas] a + b [/ matemáticas] es [matemáticas] – (a + b) [/ matemáticas]. (Recuerde que el signo menos es solo notación para inversa). Entonces, al usar nuevamente la cuarta propiedad anterior, así como la unicidad de [math] 0 [/ math], los dos términos a la izquierda deben ser inversos de cada uno otro. Es decir,
[matemáticas] ((- a) + (- b)) = – (a + b) [/ matemáticas].
¡Espero que esto tenga sentido y sea útil!
