Antes de que Wiles presentara su prueba, había varias rutas diferentes consideradas para probar Fermat. Esas rutas son esencialmente plausibles como formas alternativas de demostrarlo, que todavía no se han hecho funcionar.
La prueba de Wiles se basa en la curva cúbica [matemática] u ^ 3 = v (vx ^ n) (v + y ^ n) [/ matemática] para un contraejemplo [matemática] x ^ n + y ^ n = z ^ n [ / math] que tiene una cierta propiedad extraña (no podría ser “modular”). Se puede demostrar que tiene algunas otras propiedades extrañas también. Cada una de estas curvas cúbicas corresponde a una curva elíptica (tratándola como una curva proyectiva con un punto marcado en la línea en el infinito). La teoría de las curvas elípticas podría avanzar hasta el punto en que sabemos que algunas de estas otras propiedades extrañas son imposibles.
Otro medio sería probar la conjetura ABC (conjetura abc – Wikipedia) con un límite explícito sobre el tamaño de la triple [matemática] (a, b, c) [/ matemática]. Si [matemática] x ^ n + y ^ n = z ^ n [/ matemática] es un contraejemplo de Fermat, sin factores comunes entre [matemática] x, [/ matemática] [matemática] y, [/ matemática] y [ matemática] z [/ matemática], luego dejando que [matemática] a = x ^ n, [/ matemática] [matemática] b = y ^ n, [/ matemática] y [matemática] c = z ^ n, [/ matemática] tenemos [matemáticas] c = z ^ n> z ^ 3 \ ge (xyz) ^ {1.1} \ ge rad (x ^ ny ^ nz ^ n) ^ (1.1) [/ matemáticas] (porque ya tenemos un viejo prueba de que [matemáticas] n> 3 [/ matemáticas]). Elegí 1.1 solo para ser un número entre 1 y [matemáticas] 5/3 [/ matemáticas]. Entonces, si la conjetura ABC es verdadera, entonces solo hay finitamente muchos contraejemplos primitivos. Una prueba de ABC podría mostrar una forma de poner un límite superior en su tamaño, y uno podría descartar las posibilidades debajo del límite por separado.
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También era una posibilidad que la prueba de Kummer para los números primos regulares pudiera fortalecerse para tratar con números primos irregulares. Hay una cantidad llamada número de clase asociada con un campo numérico, que se relaciona con el grado en que falla la factorización única en los enteros algebraicos dentro de él. El campo numérico generado por las raíces [1 de matemáticas] n [/ matemáticas] de 1 (las soluciones complejas de [matemáticas] t ^ n = 1 [/ matemáticas]) se conoce como [matemáticas] n [/ matemáticas] – th campo ciclotómico.
Para que Fermat falle en un campo [ciclismo] [matemático] n [/ matemático] dado [matemático] n [/ matemático], los enteros algebraicos no deben tener una factorización única. (Una antigua prueba falaz suponía una factorización única por error). Más tarde, Kummer demostró que incluso si la factorización única falla, Fermat sigue siendo cierto siempre que [math] n [/ math] no divida el número de clase para [math] n [/ math] -th campo ciclotómico. La factorización única falla, pero de una manera manejable, por así decirlo. Esos primos se llaman primos “regulares”. Esto no es suficiente para una prueba completa, porque también hay números primos irregulares como 37.
A veces es posible probar Fermat para un primer [matemático] n [/ matemático] que es irregular de todos modos, utilizando métodos similares pero con mejoras adicionales. Me parece recordar que el índice de irregularidad de un contraejemplo ya era mayor que 1, pero no puedo encontrar una referencia en este momento. Se invirtió mucho trabajo en este enfoque. Nada muestra que aún no podría funcionar si supiéramos algo más sobre los campos ciclotómicos.
En general, diría que fue una apuesta razonablemente segura que algún día se encontrará una prueba que utilice un enfoque fundamentalmente diferente de la prueba utilizada por Wiles. Son simplemente difíciles de encontrar. (Eran difíciles de encontrar antes de que él encontrara el suyo, y todavía lo son).
