Si un conjunto es equivalente a uno de sus subconjuntos propios, ¿es un conjunto infinito?

Creo que querías decir “Si un conjunto es equivalente a uno de sus subconjuntos propios, entonces es un conjunto infinitamente contable .


Definiciones:

  1. Se dice que dos conjuntos finitos (o infinitos ) son equivalentes si tienen una biyección entre sus elementos; o en otras palabras, su cardinalidad es la misma.
  2. un conjunto B se llama un subconjunto apropiado del conjunto A, si cada elemento de B es un elemento de A y la cardinalidad de B es menor que la de A.

Del punto 2) se deduce que si la cardinalidad del conjunto A es N, entonces la cardinalidad de B sería como máximo N-1.

Pero del punto 1), se deduce que la cardinalidad (B) = cardinalidad (A)

=> N-1 = N

Esto es imposible para cualquier N real, por lo tanto, el conjunto A no puede ser finito.

Así, el conjunto A tiene que ser contablemente infinito.