¿Cuál es el valor del símbolo Legendre [matemática] \ left (\ frac {3} {41} \ right) [/ math]? Como 3 y 41 son primos impares, la ley de la reciprocidad cuadrática nos dice:
[matemáticas] \ left (\ frac {3} {41} \ right) \ left (\ frac {41} {3} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {3-1} {2} \ frac {41-1} {2}} [/ matemáticas]
Bien, entonces al menos el lado derecho es fácil de simplificar: [matemáticas] \ left (\ frac {3} {41} \ right) \ left (\ frac {41} {3} \ right) = 1 [/ matemáticas]. De eso podemos concluir que [matemáticas] \ izquierda (\ frac {3} {41} \ derecha) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ izquierda (\ frac {41} {3} \ derecha) [/ matemáticas] tienen El mismo signo. ¿Ahora que?
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¿Por qué nos molestamos con esto? ¿Es [matemático] \ left (\ frac {41} {3} \ right) [/ math] más fácil de calcular que [math] \ left (\ frac {3} {41} \ right) [/ math]?
¿Qué significan estas cosas otra vez?
[math] \ left (\ frac {3} {41} \ right) [/ math] debe decirnos si 3 es o no un residuo cuadrático mod 41. Y [math] \ left (\ frac {41} { 3} \ right) [/ math] se supone que nos dice si 41 es o no un residuo cuadrático mod 3.
Oh! Mod 3 es fácil.
[matemáticas] 41 \ equiv 2 (\ mod 3) [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] \ left (\ frac {41} {3} \ right) = \ left (\ frac {2} {3} \ right) [/ math]. ¿Es 2 un residuo cuadrático mod 3? Los únicos números distintos de cero en [math] \ mathbb {Z} _3 [/ math] son 1 y 2, y cuando cuadras cada uno de esos obtienes 1. Entonces 2 no es un residuo cuadrático mod 3, y por lo tanto tampoco es 41. Por lo tanto, [matemática] \ left (\ frac {41} {3} \ right) = – 1 [/ math].
Volviendo a nuestra ecuación anterior, tenemos [matemática] \ left (\ frac {3} {41} \ right) (- 1) = 1 [/ math]. Por lo tanto, [matemática] \ left (\ frac {3} {41} \ right) = – 1 [/ math].
¿Cuál es el valor del símbolo Legendre [matemática] \ left (\ frac {21} {97} \ right) [/ math]? 21 es extraño pero no es primo. Afortunadamente, un símbolo de Legendre es multiplicativo en el argumento superior: [matemática] \ left (\ frac {3 \ cdot 7} {97} \ right) = \ left (\ frac {3} {97} \ right) \ left ( \ frac {7} {97} \ right) [/ math]. Por lo tanto, solo necesitaría averiguar [matemáticas] \ izquierda (\ frac {3} {97} \ derecha) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ izquierda (\ frac {7} {97} \ derecha) [/ matemáticas ] por separado.
¡Feliz resolución!
