¿Por qué es (-1) * (- 1) = 1? ¿Hay alguna prueba formal de esto?

Creo que hay que hacer una distinción útil aquí con respecto a la palabra “prueba”.

Una vez que definimos lo que significa multiplicar dos números naturales, hay todo tipo de cosas que podemos probar al respecto. Podemos mostrar que hay infinitos números primos, por ejemplo. O que cada número natural es la suma de cuatro cuadrados. Esos son hechos que se basan en las nociones fundamentales de suma y multiplicación de números naturales, y pueden probarse utilizando (más o menos) argumentos lógicos inteligentes y manipulaciones aritméticas.

Pero el hecho de que [matemáticas] (- 1) \ veces (-1) = 1 [/ matemáticas] es de una naturaleza diferente. Tiene que ver con cómo elegimos definir la multiplicación de enteros, incluidos los números negativos. No es una observación que requiera pruebas, es una definición.

Ahora, elegimos esta definición porque deseamos que ciertas cosas sigan siendo ciertas, como las leyes asociativas y distributivas. Por ejemplo, [matemáticas] 2 \ veces 3 = 6 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 2 \ veces (4 + (- 1)) = 6 [/ matemáticas] también. Ahora, si la ley distributiva es válida, esto significa que [matemática] 8 + 2 \ veces (-1) = 6 [/ matemática] debe ser verdadera, y esto nos hace querer hacer [matemática] 2 \ veces (-1) ) = -2 [/ matemáticas].

Por esa razón definimos el producto de un número positivo y un número negativo de la manera en que lo hacemos, y posteriormente definimos el producto de dos números negativos por [matemáticas] (- a) \ times (-b) = a \ times b [ / math] por exactamente la misma razón.

Entonces sí, es cierto que puedes “probar” esto a través de la propiedad distributiva, pero lógicamente esto está poniendo las cosas al revés. Definimos la multiplicación de enteros de tal manera que la propiedad distributiva se mantenga porque es conveniente y útil, a diferencia de enunciados como “hay infinitos primos” que son verdaderos y requieren prueba.

Para comenzar, identificamos A y B como:
y supongamos que A = 2, B = -1
desde entonces, (A + B) * (A + B) = A * A + B * B + 2A * B ……… (1).
pon el valor de A y B en la ecuación (1);
(2 + (- 1)) * (2 + (- 1)) = 2 * 2 + (- 1) * (- 1) + 2 * 2 * (- 1):
1 = 4 + (- 1) * (- 1) -4:
1 = (- 1) * (- 1) (desde; 4-4 = 0)
DEMOSTRADO.

Para dar más detalles sobre la respuesta de Alon Amit: el problema con probar (-1) * (- 1) = 1 citando la prueba de la teoría del anillo es que estás asumiendo que los enteros forman un anillo. Esto significa que primero debe definir la multiplicación y la suma, y ​​demostrar que satisface todos los axiomas del anillo. El enfoque pedagógico para definir la multiplicación es definirla para enteros positivos y luego definir (-a) (b) = -ab y (-a) (- b) = ab, donde a y b son positivos. Sin embargo, entonces acabamos de definir (-1) (- 1) = 1, por lo que el argumento es circular. Entonces, Alon Amit tiene un punto: estamos obligados a definir (-1) (- 1) = 1 para convertir los enteros en un anillo.

Sin embargo, Alon Amit está equivocado: (-1) (- 1) = 1 puede considerarse como una observación que requiere prueba. Todo depende de cómo defina los enteros y la multiplicación. Si define los enteros y su multiplicación como en la respuesta de Fennec Baptiste, entonces está trabajando con clases de equivalencia. Puedes probar que las clases de equivalencia forman un anillo. Esta prueba evita el enfoque pedagógico para definir la multiplicación, ya que no distingue entre enteros positivos y negativos. Entonces la prueba clásica de la teoría del anillo demuestra que (-1) (- 1) = 1. Por lo tanto, (-a) (- b) = ab es una propiedad de los enteros, y no solo una definición. Por supuesto, esto requiere tomar una perspectiva diferente sobre lo que significa ser un número entero, y está en línea con la forma más geométrica de ver la negación como reflejo.

Piénsalo de esta manera. Cualquier número entero, digamos [math] a [/ math], multiplicado por [math] 1 [/ math] daría [math] 1 * a = a [/ math]. Esto se debe a que [matemática] 1 [/ matemática] es la identidad multiplicativa. [Matemática] -1 [/ matemática] es la inversa, con respecto a la suma, a esta identidad, [matemática] 1 [/ matemática]. Entonces, cualquier número entero, a, multiplicado por [math] -1 [/ math] nos da el inverso de sí mismo con respecto a la suma, de modo que cuando los sumas, obtienes la identidad aditiva [math] 0 [/ math] .

Ahora, podemos representar cualquier número entero negativo, digamos [math] -b [/ math] por [math] (- 1) b [/ math], de modo que:

[matemáticas] b + -b = (1) b + (-1) b = b (1 – 1) = (0) b = 0 [/ matemáticas]

Esto se puede generalizar a todos los números reales. (Que se dejará como ejercicio para el lector).

Podría haber cometido un error tipográfico, pero así es como lo hice. Probablemente hay una forma más fácil que requiere menos pasos, tengo un evento al que ir y no puedo pensar en un método más corto.

A1 = Identidad aditiva = a + 0 = a

A2 = Aditivo inverso = a + b = 0 donde b = -a

M1 = Identidad multiplicativa = a * 1 = a

D = Propiedad distributiva = a * (b + c) = a * b + a * c

1 = 1 * 1 M1

= (1 + 0) * (1 + 0) A1

= (1 + (1 + -1)) * (1 + (1 + -1)) A2

= (1 * 1) + 1 * (1 + -1) + (1 + -1) * 1 + (1 + -1) (1 + -1) D

= 1 + 1 * 0 + 0 * 1 + (1 + -1) (1 + -1) M1, A2

= 1 + 0 + 0 + (1 + -1) (1 + -1) M1

= 1 + (1 + -1) (1 + -1) A1

= 1 + 1 * 1 + (-1 * 1) + (1 * -1) + (-1) (- 1) D

= 1 + 1 + -1 + -1 + (-1) (- 1) M1

= (-1) (- 1) A2

Gracias por A2A.

Supongamos que [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = -1 [/ matemáticas]

Sabemos que, [matemáticas] (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 [/ matemáticas]

Aplique valores de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], obtenemos,

[matemáticas] [2 + (- 1)] ^ 2 = [2 ^ 2] + [2 (2) (- 1)] + [(- 1) ^ 2] [/ matemáticas]

Implica,

[matemáticas] 1 = 4-4 + (- 1) ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, como [matemáticas] (- 1) ^ 2 = -1 (-1) [/ matemáticas], obtenemos,

[matemáticas] 1 = (- 1) (- 1) [/ matemáticas]

Demostrado.

Espero que mi respuesta haya sido útil. Si tiene alguna pregunta sobre Matemáticas, Física o Computación, pregúnteme.

¡¡¡Buen día!!!

Una vez más, gracias por A2A.

Quiero escribir una explicación más conceptual de por qué es lo que es. Definiré a , multiplicado por b para que tenga b paquetes de cosas. Comenzando por no tener ninguna de esas cosas, esto significa que terminamos con un total de

   0 + a1 + a2 + a3 +… + a ( subíndice b) = total

cosas. (¡Lo siento! ¡No sé cómo insertar subíndices!)

Veamos algunos ejemplos específicos:

2, veces 3 = (0) + 2 + 2 + 2 = 6; (sumando 2 tres veces, partiendo de cero)
3, veces 1 = (o) + 3 = 3; (sumando 3 una vez, partiendo de cero)
3, veces 0 = (0); (sumando 3 cero veces, partiendo de cero)

Ahora probemos con uno de los números que es negativo. Seleccionaré a ser negativo porque es más fácil seguir con la noción que establecí anteriormente. (Hmm, ¿cómo podrías tener un paquete de -3 cosas? Bah, todavía podemos agregar los paquetes … No me importa, no puedo visualizar lo que hay dentro ) .

-1, por 4 = (0) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = 0 – 1 – 1 – 1 – 1 = -4; (sumando -1 cuatro veces, partiendo de cero)
-5, multiplicado por 2 = (0) + (-5) + (-5) = 0 – 5 – 5 = -10; (sumando -5 dos veces, partiendo desde cero)
-3, veces 0 = (0); (sumando -3 cero veces, partiendo de cero)

¡Ahora probemos con ambos siendo números negativos!

-3, veces -4 = …?

¡¿Qué?! Si tener cosas negativas fue lo suficientemente difícil de visualizar, ¿cómo podrías tener -4 paquetes de -3 cosas? Bueno, me resulta más fácil visualizarlo de esta manera: mi truco es tomar cantidades negativas para que signifiquen deudas en lugar de tenerlas dándoles un valor.

Entonces, cuando multiplicamos -1, 4, significa que ahora tenemos cuatro paquetes de algo que vale -1. Por lo tanto, terminamos debiendo 4 de esas cosas . Podemos sustituir el signo (-) con ” to ow “. Lea atentamente la siguiente conclusión:

Podemos decir, por lo tanto, -3 veces -4 significa que debemos cuatro paquetes de algo que vale -3 Observe que dije que debemos cuatro paquetes en lugar de tener cuatro paquetes. Si decidimos reembolsar esos cuatro paquetes que debemos, entonces quienquiera que sea el receptor de esos paquetes ahora tiene cuatro paquetes de cosas que tienen un valor total de -3. Dividido uniformemente, cada cosa tiene un valor de -1. Ahora tiene 4 paquetes, cada uno con 3 cosas valoradas en -1. Tiene 3 × 4 = 12 cosas valoradas en -1, y por lo tanto nos debe 12 de esas cosas.

¿Que pasó al final? Si paga, por supuesto, terminamos teniendo (ganando) 12 de esas cosas. Como le debía los paquetes, y él le debía el contenido, se cancelan. Por lo tanto,

-3, veces -4 = 0 – (-3) – (-3) – (-3) – (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12; ( restando -3 cuatro veces, partiendo de cero)

Volviendo a su pregunta, debido a lo que expliqué anteriormente, ahora puedo concluir intuitivamente que

-1, veces -1 = 0 – (-1) = 0 + 1 = 1; (restando -1 una vez, partiendo de cero)

Le debo el paquete, me debe el contenido, por lo que estamos incluso … asumiendo que el paquete no vale nada … lo que, por supuesto, en esta abstracción matemática, no vale nada.

En un sentido más general,

-a, veces -b = 0 – (-a1) – (-a2) – (-a3) -… – (-a (subíndice b)) = 0 + a1 + a2 + a3 +… + a (subíndice b) = a, veces b como Una definida al comienzo de esta explicación.

Por lo general, construimos el anillo de enteros construyendo primero los números naturales y luego introduciendo los enteros como el conjunto de clases de equivalencia de pares [math] \ {(a, b): a, b \ in \ mathbb {N} \} [/ math] bajo la relación de equivalencia generada por [math] (a, b) \ sim (c, d) [/ math] if [math] a + d = b + c [/ math].

Luego definimos la notación [matemáticas] – [(a, b)] = [(b, a)] [/ matemáticas].

Luego podemos definir operaciones de multiplicación y suma a través de:

[matemáticas] [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] [/ matemáticas]
[matemáticas] [(a, b)] * [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)] [/ matemáticas]

Entonces el hecho de que [matemáticas] (- 1) * (- 1) = 1 [/ matemáticas] es un cálculo sencillo:

(0,1) * (0,1) = (0 * 0 + 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (1,0)

Alternativamente, podríamos mostrar que nuestra construcción de los enteros con las operaciones definidas produce un anillo, con 1 como su unidad multiplicativa, y que -1 como se define es el inverso aditivo de 1. Entonces podemos recurrir a una simple prueba de que en cualquier anillo, multiplicando el inverso aditivo de la unidad multiplicativa por sí mismo produce la unidad multiplicativa. Pero para una pregunta tan simple, eso es bastante exagerado.

-1 + 1 = 0

Multiplay -1 a ambos lados

-1 * -1 + 1 * -1 = 0

-1 * 1 maje sence, significa sumar -1 número de veces = 1

Así que finalmente desuso -1 * -1 = 1

Que los negativos se multipliquen a positivos es demostrable con axiomas de anillo. Los axiomas de anillo son un conjunto de axiomas que definen un anillo (una estructura matemática básica para el álgebra y la teoría de números). Los necesarios son la propiedad distributiva, los inversos aditivos, la identidad multiplicativa y la definición de resta. Tenga en cuenta que (-1) se define como el número tal que 1 + (- 1) = 0. Además, necesita como lema que a * 0 = 0 (0 se define solo como una identidad aditiva), que se encuentra abajo.

(-1) (1 + -1) = (- 1) (0) = 0
(-1) (1) + (- 1) (- 1) = 0
-1 + (- 1) (- 1) = 0
(-1) (- 1) = 1.

Lema: a * 0 = a (0 + 0) = a * 0 + a * 0 => a * 0 = 0

Como dijo Alon Amit, se basa en cómo definimos formalmente la multiplicación para números negativos. También, como señaló, una razón por la que adoptamos la regla de que [matemáticas] (- 1) \ cdot (-1) = 1 [/ matemáticas] es que es muy consistente con la propiedad distributiva, etc., que ya habríamos notado para ser verdad para los números positivos.

Otra razón que vale la pena mencionar es que es consistente con la forma en que nos gusta ver los números negativos geométricamente. (Hay una respuesta anónima que sobrepasa esto.) Si asocia cada número positivo con desplazamiento en una dirección a lo largo de una línea (por ejemplo, “derecha”), entonces probablemente parecería intuitivamente claro que lo contrario de ese número positivo debería representan la misma cantidad de desplazamiento en la dirección opuesta (por ejemplo, “izquierda”). Entonces parece razonable decir que multiplicar cualquier número por [matemáticas] -1 [/ matemáticas] equivaldría a invertir su dirección. Multiplicar por [matemática] -1 [/ matemática] dos veces significaría invertir la dirección dos veces, lo que en última instancia significa que terminará con el desplazamiento original. Multiplicar por [matemáticas] 1 [/ matemáticas] debería tener el mismo resultado. Esto se puede generalizar a la forma en que trabajamos con vectores en cualquier cantidad de dimensiones.

Si sabe algo sobre números complejos, puede saber que tenemos una convención bien explorada de asociar cada vector bidimensional con un número complejo, y multiplicar cualquier número por [math] i [/ math] equivale a rotarlo [math ] 90 ^ \ circ [/ math] en una dirección que hemos acordado (en sentido antihorario). La regla [math] i \ cdot i = -1 [/ math] es perfectamente consistente con el hecho de que rotar un vector por [math] 180 ^ \ circ [/ math] es lo mismo que invertirlo. En general, las reglas que hemos adoptado para hacer aritmética con números complejos son perfectamente consistentes con esta forma geométrica de verlos.

En resumen, adoptamos la convención que [math] (- 1) \ cdot (-1) = 1 [/ math] porque funciona .

[matemáticas] 0 [/ matemáticas] Sí,

Supongamos que [matemáticas] -1 * -1 = -1. [/ Matemáticas]

Entonces aplicamos propiedad de distribución y tenemos:

[matemáticas] a * (b + c) = a * b + a * c [/ matemáticas]

[matemáticas] a = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] c = -1 [/ matemáticas]

Así tenemos que:

[matemáticas] -1 * (1 – 1) = (-1) * (+1) + (-1) * (-1) [/ matemáticas]

[matemática] 0 = -1 + -1 [/ matemática] (Porque afirmamos que -1 * -1 = -1)

obtenemos:

[matemáticas] 0 = -2 [/ matemáticas]

lo cual es imposible, así que -1 * -1 = 1

[matemáticas] 0 = -1 + 1 -> con -1 * -1 = 1 [/ matemáticas]

Es bueno ver los números como transformaciones lineales de una línea.

El número positivo X corresponde a un estiramiento de esta línea X veces.
Y -1 corresponde a un reflejo de esta línea.

La multiplicación de números corresponde a la composición de las transformaciones.

En esta interpretación, es inmediatamente evidente que -1 * -1 = 1 ya que realizar la reflexión dos veces no hace nada (que es lo mismo que estirarse 1 veces).

¿Y qué tal esto, no como una “prueba formal” sino como una guarnición algebraica, por así decirlo? Si (–1) × (–1) = x , entonces –1 = x / (- 1) = – ( x / 1) = – x , una serie de operaciones que no están entre las prohibidas (división por 0, etc. .). ¿Tiene sentido que si –1 = – x entonces x = 1?

Te vuelves más rico pagando tus deudas
Paga más cuando hay menos descuento
Eres más alto cuando eres menos bajo
Más gordo si eres menos delgado
Más inteligente cuando eres menos estúpido
…
Prueba inductiva que tiende a decir que está en la definición, por lo tanto, tautológica.

En primer lugar, tenemos que [math] (- 1) * a = -a [/ math] para cualquier número [math] a. [/ math] Ahora esto no es del todo trivial, ya que [math] (- 1) [/ math] es el inverso aditivo del inverso multiplicativo [math] 1, [/ math] y [math] -a [/ math ] es el inverso aditivo de [math] a, [/ math] pero es fácil de verificar por la distributividad de la suma.

De esto se deduce que [matemática] (- 1) * (- 1) = – (- 1) = 1, [/ matemática] y ¡hemos terminado!

Aritmética simple
-1 puede escribirse como (1 / -1). Conmigo hasta ahora? Acabo de enviar el signo menos al denominador. El valor sigue siendo el mismo. Después de todo (6 / -1) es -6. Entonces intuitivamente (1 / -1) será -1.

Ahora, -1 * -1 es ahora -1 * (1 / -1).
Multiplicando, se convierte en (-1) / (- 1).
Cualquier número dividido por el mismo número es uno. Simple como eso.

Espero que ayude. ¡Salud! 😀

(-1) se define por la propiedad que 1 + (-1) = 0. En particular, – (- 1) = 1.

Por leyes distributivas asociativas y conmutativas, y las propiedades de unidad aditiva / multiplicativa de 0 y 1, tenemos:

0 = (1 + (-1)) * (1 + (-1)) = 1 +1 * (- 1) + 1 * (- 1) + ((-1) * (- 1)) = 1 + (-1) + (-1) + ((-1) * (- 1)) = (-1) + ((-1) * (- 1)),

por lo tanto (-1) * (- 1) = – (- 1) = 1.

Creo que una “prueba” no debería limitarse a solo -1 X -1.

Es mucho mejor considerar -a X -b (donde a y b son números positivos)

También creo que la siguiente prueba lógica es muy buena porque no depende de ningún patrón o regla que trate con inferencias espurias como:

Positivo X Positivo = Positivo y Positivo X Negativo = Negativo

entonces Negativo X Negativo debe ser ………. etc.

Mira lo que piensas de esto …

Si debe tener una prueba con solo a = 1 yb = 1, vea a continuación …