No utiliza el teorema del valor medio y el teorema de Rolle. Usar uno u otro. El último es un caso especial del primero de todos modos y cualquiera de los dos puede usarse para probar al otro.
La intuición detrás de la prueba es una explicación de por qué cada paso tiene sentido y cómo podría haberlo inventado usted mismo.
Dada una función, [matemática] f (x) [/ matemática], que es diferenciable [matemática] n + 1 [/ matemática] veces con la derivada [matemática] n + 1 [/ matemática] continua, puede aproximar la funcionar cerca de un punto [matemáticas] a [/ matemáticas] por un polinomio con grado [matemáticas] n [/ matemáticas]. El problema es estimar el resto en un punto [matemático] x [/ matemático] diferente de [matemático] a [/ matemático]. Podemos escribir el resto exactamente como [math] f (x) – p_n (x) [/ math] donde [math] p_n (x) [/ math] es la aproximación polinómica.
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Los coeficientes de la expansión se derivan haciendo coincidir las derivadas de [matemáticas] p (x) [/ matemáticas] con las de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] en [matemáticas] x = a [/ matemáticas] así que puede escribir
[matemáticas] f (x) = f (a) + f ‘(a) (xa) + f’ ‘(a) \ frac {(xa) ^ 2} {2!} + \ dots + f ^ {(n )} (a) \ frac {(xa) ^ n} {n!} + R_n (a, x) [/ math].
Reorganice esto para encontrar una fórmula para el resto. Eso es bastante sencillo pero no muy útil: es una tautología.
Aunque no lo preguntaste, primero te mostraré cómo obtener la forma del resto de Cauchy.
La intuición detrás del siguiente paso es que [matemática] x [/ matemática] es el punto donde desea el resto. Así que mantenlo fijo. Queremos ver cómo cambia el resto a medida que cambiamos [math] a [/ math]. Así que diferencie con respecto a [matemáticas] a [/ matemáticas] manteniendo [matemáticas] x [/ matemáticas] fijo. Tenga en cuenta que la serie telescopios y obtienes
[matemáticas] R_n ‘(a, x) = f ^ {(n + 1)} (a) \ frac {(xa) ^ n} {n!} [/ matemáticas].
La idea ahora es usar una forma del teorema del valor medio. Sabemos que [matemáticas] R_n (a, a) = 0 [/ matemáticas]. Entonces, el teorema del valor medio dice que hay un punto, [matemática] \ xi [/ matemática] entre [matemática] a [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] R_n ‘(\ xi, x) = \ frac {R_n (\ xi, x)} {xa} [/ math], que es el gradiente promedio en el intervalo [math] a <\ xi <x [/ math]. Reorganizar y sustituir [math] R_n '(\ xi, x) [/ math] le da a Cauchy la forma del resto.
La forma del resto de Lagrange es un poco más sofisticada, pero la idea intuitiva es la misma. Schlömilch dio una forma que combina la forma de Cauchy y Lagrange. El truco consiste en comparar el resto con la función [matemáticas] (xa) ^ m [/ matemáticas] y utilizar el teorema del valor medio de Cauchy. Esto pasa por alto el teorema de Rolle, porque este último se utiliza para probar el teorema del valor medio de Cauchy. Dependiendo de cómo elija [math] m [/ math], puede obtener la forma del resto de Cauchy’s o Lagrange. Aún más generalmente, puede comparar el resto con una función arbitraria diferenciable [matemática] G (x) [/ matemática]. Este es el enfoque adoptado por el artículo Teorema de Taylor: Wikipedia.