¿Qué es un grupo de mentiras en términos simples? ¿Se puede explicar un grupo de Lie utilizando algunas analogías del mundo real, ya sea en física, matemáticas o en otras áreas?

Aproximadamente, un grupo de Lie puede considerarse intuitivamente como un espacio liso cuyos puntos se pueden combinar algebraicamente.

Por ejemplo, la recta numérica real es un espacio unidimensional suave y agradable, y cualquiera de los dos puntos x e y se pueden combinar algebraicamente para obtener otro punto z = x + y . De manera más general, el espacio euclidiano n- dimensional es un grupo de Lie, donde los puntos se agregan mediante la suma de vectores. Este grupo de Lie corresponde a la noción de traducción suave de coordenadas, que es una simetría de los sistemas físicos y corresponde a la conservación del momento lineal.

Los puntos en el círculo de la unidad también son un grupo de Mentiras, donde los puntos se combinan sumando sus ángulos. En términos más generales, el grupo de rotaciones ortogonales (que es un espacio abstracto donde cada punto corresponde a una matriz de rotación) también es un grupo de Lie, y describe la simetría rotacional de los sistemas físicos, que corresponde a la conservación del momento angular.

Estos ejemplos dan la esencia de la idea del grupo Lie. Hay muchos grupos de Lie más importantes en física y matemáticas, pero su definición y descripción requieren términos técnicos.

Aquí hay una respuesta para los laicos que saben lo que es una matriz, y que las matrices se pueden multiplicar. Otros laicos han sido advertidos.

Si bien no es del todo correcto, el 98% del tiempo, es razonable pensar en un grupo de Lie como un subgrupo cerrado del grupo de matrices invertibles , y creo que esta es una buena manera de entender el concepto al principio. Ciertamente fue así como se entendieron los grupos de Lie, históricamente. Para elaborar, “subgrupo” significa que es una colección de matrices cuadradas invertibles de alguna dimensión fija, y que si multiplica dos elementos de la colección o invierte un elemento de ella, entonces permanece dentro de ella. La condición “cerrada” significa, en la práctica, “definida por una condición que involucra igualdades en lugar de desigualdades”. Por ejemplo, tome las matrices ortogonales nxn, generalmente denotadas O (n). Una forma de definirlos es decir que una matriz es ortogonal cuando es igual a la inversa de su transposición. Como se trata de una condición de “igualdad”, convierte a O (n) en un subgrupo cerrado de las matrices nxn invertibles GL (n).

Los buenos ejemplos a tener en cuenta, que exhiben una amplia gama de comportamientos, son:

GL (n) = nxn matrices invertibles de números reales (un grupo reductor de Lie),
SL (n) = matrices con determinante 1 (un grupo de Lie semimple ),
O (n) = matrices ortogonales (un ejemplo compacto ),
matrices invertibles triangulares superiores (un ejemplo solucionable ),
matrices triangulares superiores con 1s en la diagonal (un ejemplo unipotente ),
matrices diagonales invertibles (un ejemplo conmutativo).

(Siéntase libre de ignorar las frases entre paréntesis que no he definido).

Hay algunas advertencias, que menciono solo en aras de la precisión. Primero, no definí “cerrado” correctamente. Segundo, mi definición hace que el conjunto ambiental de matrices invertibles parezca una parte intrínseca de la estructura de un grupo de Lie; no lo es Puedes pensar en el mismo grupo de Lie como consistente en matrices de varias dimensiones, por lo general. (Por ejemplo, las matrices invertibles de 2 x 2 forman un grupo de Lie GL (2), donde la “condición cerrada” es vacía. Pero también se pueden ver dentro del grupo de matriz más grande GL (3), como las matrices invertibles de 3 x 3 de la forma [matemática] \ left (\ begin {smallmatrix} * & * & 0 \\ * & * & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {smallmatrix} \ right) [/ math].) En términos técnicos, un solo grupo de Lie puede tener muchas “representaciones dimensionales finitas fieles”.

La última y más importante advertencia es que mi definición es una mentira completa. (Qué apropiado es mentir cuando se definen grupos de Mentiras). La razón es que cuando se definen correctamente, como Daniel y Sridhar han hecho en sus respuestas, un grupo de Mentiras no necesita encajar en ningún grupo de matriz GL (n). Sin embargo, los que no son un poco raros y no surgen tan a menudo en la práctica.

Tradicionalmente, los grupos tienen una estructura discreta. Tiene un grupo con estos elementos discretos que se pueden combinar con el operador del grupo. El grupo podría incluso tener un número infinito de elementos, pero un número contable (por ejemplo, los enteros con suma).

Un grupo de Lie es como un grupo normal, pero opera en un conjunto que parece localmente lineal (un múltiple ). Un ejemplo simple es el grupo de rotaciones en un círculo. Las rotaciones no son discretas; puedes rotar un punto por una cantidad irracional, por ejemplo. Si nos acercamos a un círculo lo suficientemente cerca, parece una línea y, por lo tanto, es “localmente lineal”.

Otro ejemplo simple es solo el conjunto de números reales con suma. Esto es como el grupo de enteros con suma, pero hay más elementos y más “espacio”.

Lo que hace que los grupos de Lie sean interesantes es que pueden estudiarse a través del campo de la geometría diferencial , que estudia curvas y superficies. Entonces, los grupos de Lie son un punto de encuentro entre la teoría de grupos y la geometría diferencial.

Para entender qué es un grupo de Mentiras, primero debes entender qué es un grupo.

Hay muchas formas de pensar en los grupos, pero una común es la siguiente:

Considere las operaciones de suma y negación, junto con la constante cero. Tenga en cuenta que tienen las siguientes propiedades:

La suma es asociativa
Todo lo que se agrega a cero es en sí mismo, como se agrega cero a cualquier cosa
Cualquier cosa agregada a su negación es cero, como lo es cualquier negación agregada.

Un grupo es cualquier operación y constante con esas mismas propiedades.

Entonces, por ejemplo, la multiplicación, la reciprocidad y la constante también comprenden un grupo. [En realidad, hay muchos grupos diferentes de esta forma, para todos los diferentes tipos de entidades que se pueden multiplicar y corresponder. Por ejemplo, está el grupo de multiplicación y reciprocidad de números racionales (distintos de cero), el grupo de multiplicación y reciprocidad de números complejos (distintos de cero) en general, el grupo de multiplicación y reciprocidad de matrices invertibles de cinco por cinco con entradas de números reales , etc. Todos estos son grupos. (¡Tenga en cuenta que en este último grupo, la multiplicación no es conmutativa! No es necesario que sea así).]

Y un grupo de Lie es solo un grupo donde las operaciones son infinitamente diferenciables. [Entonces, los dos últimos ejemplos también son grupos de Mentiras. Un ejemplo simple de un grupo que no sea Lie sería la suma y la negación de enteros, donde normalmente ni siquiera hablaríamos de diferenciabilidad.]

Comencemos con

En matemáticas, un logaritmo de una matriz es otra matriz, de modo que la matriz exponencial de la última matriz es igual a la matriz original.

Las rotaciones en el plano dan un ejemplo simple. Una rotación del ángulo α alrededor del origen está representada por la matriz 2 × 2

[matemáticas] A =
\ begin {pmatrix}
\ cos (\ alpha) y – \ sin (\ alpha) \\\\
\ sin (\ alpha) y \ cos (\ alpha) \\\\
\ end {pmatrix}.
[/matemáticas]

Para cualquier número entero ” n ”, la matriz

[matemáticas]
B_n = (\ alpha + 2 \ pi n)
\ begin {pmatrix}
0 y -1 \\\\
1 y 0 \\\\
\ end {pmatrix},
[/matemáticas]

es un logaritmo de ” A ”. Por lo tanto, la matriz ” A ” tiene infinitos logaritmos. Esto corresponde al hecho de que el ángulo de rotación solo se determina hasta múltiplos de [math] 2 \ pi [/ math].

En el lenguaje de la teoría de Lie, las matrices de rotación ” A ” son elementos del grupo de Lie, grupo de círculo, SO (2). Los logaritmos correspondientes ” B ” son elementos del álgebra de Lie so (2), que consiste en toda la matriz simétrica sesgada. La matriz

[matemáticas]
\ begin {pmatrix}
0 y 1 \\\\
-1 y 0 \\\\
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]

es un generador del álgebra de Lie SO (2).
http://en.wikipedia.org/wiki/Log …

Un grupo de mentiras es un grupo en el que puedes hacer cálculos diferenciales.

Se usan en física para modelar simetrías continuas. Por ejemplo, el espacio es isotrópico significa que las leyes de la física son las mismas para un punto [matemáticas] x [/ matemáticas] y su transformación [matemáticas] g (x) [/ matemáticas] donde [matemáticas] g \ en G [/ math] es el grupo Lie de rotaciones / traslación. La relatividad especial es el estudio de las propiedades físicas bajo el grupo Lie de transformaciones de Lorentz.

En general, cada vez que puede encontrar una simetría en un sistema dinámico (es decir, un sistema de ecuación diferencial), y que las simetrías forman un grupo de Lie, puede reducir el rango del sistema dinámico, es decir, tiene invariantes (primeras integrales) que a menudo tienen interpretaciones físicas significativas. Por ejemplo, los invariantes del grupo de rotaciones / traducciones de Lie son los momentos.

Si conoce un grupo de simetrías de Lie, entonces tiene restricciones sobre el espacio en el que puede operar este grupo de Lie. Por ejemplo, el espacio en el que opera el grupo Lorentz Lie está indexado por medio enteros que se interpretan como el giro.