Para una función [math] f: U \ subset \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ m [/ math], tenemos los siguientes dos teoremas:
- Teorema 1: si todas las derivadas parciales [matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial x_i} [/ matemática] existen y son continuas en una vecindad de a en [matemática] U [/ matemática], entonces [matemática] f [/ math] es diferenciable en a.
- Teorema 2: si [matemática] f [/ matemática] es diferenciable en a, entonces es continua en a.
Lógicamente, entonces, podemos obtener el siguiente teorema como consecuencia de los Teoremas 1 y 2:
- Teorema 3: si todas las derivadas parciales [matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial x_i} [/ matemática] existen y son continuas en una vecindad de a en [matemática] U [/ matemática], entonces [matemática] f [/ math] es continuo en a.
Por contraposición, si una función es discontinua en un punto, entonces no es el caso de que existan todas sus derivadas parciales y son continuos Eso permite la existencia de funciones discontinuas en a con derivadas parciales existentes, siempre que esas derivadas parciales no sean continuas en a .
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Para quizás el ejemplo más conocido, considere la siguiente función que se muestra a continuación:
[matemáticas] f (x, y) = \ begin {cases} \ frac {xy} {x ^ 2 + y ^ 2} & \ textrm {if $ (x, y) \ ne 0 $} \\ 0 & \ textrm {if $ (x, y) = (0,0) $} \\ \ end {cases} [/ math]
Crédito: Wolfram Research, Inc., Mathematica, Versión 11.0, Champaign, IL (2016).
Para esta función, [matemática] f (x, y) [/ matemática] es discontinua en [matemática] (0,0) [/ matemática], pero las derivadas parciales [matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial x} [/ math] y [math] \ frac {\ partial f} {\ partial y} [/ math] existen en todas partes. De hecho, de acuerdo con el Teorema 3 anterior, puede demostrar que aunque las derivadas parciales [matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial x} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial y } [/ math] existen en todas partes, no son continuas en [math] (0,0) [/ math]. He representado [math] \ frac {\ partial f} {\ partial y} [/ math] a continuación para ilustrar la discontinuidad en [math] (0,0) [/ math]:
Crédito: Wolfram Research, Inc., Mathematica, Versión 11.0, Champaign, IL (2016).
