¿El factor de Lorentz tiene una pendiente algebraica, si es así, tiene alguna relación con la curvatura del espacio?

No sé del todo lo que quieres decir sobre la pendiente de [math] \ gamma [/ math]. Supongo que te refieres a sus derivados con respecto a algo, pero no estás muy claro en ese frente, así que me enfocaré en la segunda parte de tu pregunta.

El factor de Lorentz [matemática] \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ matemática] es un artefacto de relatividad especial .

Como tal, se define únicamente con respecto a la métrica de Minkowski, [math] diag [-1,1,1,1], [/ math], que corresponde a un espacio-tiempo globalmente plano .

Por lo tanto, no, ni [math] \ gamma [/ math] ni sus derivados tienen ninguna relación con la curvatura del espacio.

Los diversos objetos que describen la curvatura del espacio son:

  • La métrica del espacio-tiempo
  • El tensor de Ricci
  • El tensor de estrés-energía

Todos los cuales se combinan en las ecuaciones de campo de Einstein:

[matemáticas] R ^ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g ^ {\ mu \ nu} + \ Lambda g ^ {\ mu \ nu} = \ frac {8 \ pi G} { c ^ 4} T ^ {\ mu \ nu} [/ math]

Los cuales se resumen elegantemente con la frase “el espacio le dice a la materia cómo moverse, y la materia le dice al espacio cómo doblarse”.

Pero no, [math] \ gamma [/ math] no tiene nada intrínsecamente que ver con eso.

No entiendo la primera parte, pero la respuesta a la segunda parte es probablemente no: el LF refleja la geometría hiperbólica subyacente del espacio-tiempo antes de que sea curvada por la masa gravitante. Específicamente es el coseno hiperbólico de la Rapidez – Wikipedia.