Valores reales tales que [matemática] x ^ y = y ^ x [/ matemática] también verifican la condición [matemática] x \ ln {y} = y \ ln {x} [/ matemática] que es lo mismo que [matemática] \ dfrac {\ ln {x}} {x} = \ dfrac {\ ln {y}} {y}. [/ math]
Entonces, los números reales buscados, llamémoslos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], son aquellos que [matemática] f (x) = \ dfrac {\ ln {x}} {x} [/ math] tiene el mismo valor en [math] a [/ math] y [math] b [/ math] ([math] a [/ math] y [math] b [/ math] son distintos) . Ahora estudiemos las variaciones de [math] f [/ math].
En su dominio, la derivada de esta función es:
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[matemáticas] f ^ {\ prime} (x) = \ dfrac {1} {x ^ 2} (1 – \ ln {x}) [/ matemáticas]
que es claramente positivo en [matemáticas] (0, e) [/ matemáticas] y negativo en [matemáticas] (e, \ infty) [/ matemáticas] (donde [matemáticas] e [/ matemáticas] es el número de Euler también llamado Napier’s Constante).
Ergo, [matemáticas] f [/ matemáticas] está aumentando en [matemáticas] (0, e) [/ matemáticas], cruza el eje [matemáticas] x [/ matemáticas] en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], luego se da cuenta de un máximo en [matemáticas] x = e [/ matemáticas] donde [matemáticas] f (e) = \ frac {1} {e} [/ matemáticas] y finalmente disminuye en [matemáticas] (e, \ infty) [ / math] tiende a cero cuando [math] x [/ math] crece más y más.
Vea el gráfico que tracé usando Python numpy + matplotlib.pyplot:
Entonces, por cada [matemática] a [/ matemática] en (y solo en) [matemática] (1, \ infty) [/ matemática], siempre habrá una única [matemática] b [/ matemática] tal que [matemática] b \ neq a [/ math] y [math] f (a) = f (b) [/ math] y si consideramos que [math] a \ lt b [/ math], entonces debemos tener [math] a \ lt e \ lt b. [/ matemáticas]
Por lo tanto, hay infinitos pares de números reales, pero dado que estamos buscando enteros, entonces solo tenemos una opción para [matemática] a [/ matemática] porque [matemática] 2 [/ matemática] es el único entero tal que [matemática] 1 \ lt a \ lt e [/ math] ([math] e \ aprox 2.71828182 [/ math]). Así que aquí está la única posibilidad: [matemáticas] a = 2. [/ Matemáticas]
Por lo tanto, es fácil comprobar que [matemática] b = 4 [/ matemática] es el número entero tal que [matemática] a ^ b = b ^ a [/ matemática]. Y es el único.
