¿Qué significa bien definido en matemáticas?

Significa que la definición usa solo los términos que son necesarios y suficientes para indicar, que la referencia o el mapeo funcionarán para los casos semilla requeridos para satisfacer alguna condición de inducción (u otra cosa que sirva para el mismo propósito que la inducción).

tl; dr

Representar con precisión arbitraria y sin incertidumbre (idealmente).

Por ejemplo

1. Una relación autorreferencial (recurrente), si está bien definida, es la recursividad.
2. El número de pruebas de un teorema no está bien definido, ya que agregar un paso inductivo a una prueba dada, da otra prueba.
3. Mapear teoremas incontables a axiomas contables conduce a la incompletitud.
4. Un número está bien definido en términos de conjuntos nulos y operador de secuencia y no en términos del número de dígitos necesarios para expresarlo. Como este último no tiene una respuesta bien definida.
5. Un número racional está bien definido como p / q y no en términos del sistema de numeración involucrado. (cf. racionalidad y base de pi)

La lista puede continuar, pero espero que entiendas el punto.

Ver también la respuesta de Erik Anson a ¿Podría ser que el universo sea determinista incluso si no podemos medir las condiciones iniciales?

Realmente depende de qué considera exactamente que está bien definido, pero en general algo está bien definido si diferentes representaciones de la misma expresión no producen resultados ambiguos. Un punto clave aquí, es que esto no tiene nada que ver con funciones definidas y no definidas sobre el dominio. Por ejemplo, a * b * c son expresiones bien definidas, ya que en función de la propiedad asociativa, de cualquier forma que combine estos tres números, las expresiones producen una salida única.

nota: lo siento, pero aquí trataré de improvisar un ejemplo que no es del todo cierto, pero creo que le ayudará a comprender mejor el concepto de lo que estoy hablando: suponga que A, B y C están sentados en su vida habitación. Ahora somos un conjunto de tres personas allí, y de cualquier forma que nos coloque en el orden que sea, seguimos siendo el mismo conjunto de personas en su sala de estar, por lo que estamos bien definidos. Sin embargo, si estuviéramos en una cola frente al cine, en el orden A, B, C, ahora formamos una secuencia, y aquí cambiar el orden puede producir resultados ambiguos, por lo que este es un ejemplo de mala definición. Perdóname por mi pobre ejemplo, pero como no sé cuál es el nivel de tu fondo matemático, traté de dar algo de intuición.

Esto tiene una interpretación diferente cuando se trata de PDE, por lo que si preguntaba sobre eso, es posible que desee considerar explicaciones alternativas.