¿Cuál es un ejemplo del teorema de incompletitud de Godel en la práctica?

El teorema de incompletitud de Gödel es un resultado negativo. Dice que no puedes hacer algo. En particular, dice que no se puede axiomatizar efectivamente la teoría de números.

Al igual que otros resultados negativos, sus implicaciones no son prácticas.

Para un ejemplo de otro resultado negativo, tome las trisecciones de ángulo. No se puede triseccionar un ángulo arbitrario con brújula y regla. Eso no te dice cómo hacer algo; te dice que no puedes hacerlo de cierta manera. Si aún desea trisecar un ángulo, deberá usar otras herramientas.

El teorema de incompletitud de Gödel sugiere que puede haber otras afirmaciones en la teoría de números que requieren más que el mínimo básico de axiomas para probar. Sin embargo, no le dice qué afirmaciones son esas o qué otros axiomas debe asumir para probarlas.

Muchas personas intentan aplicar el teorema de incompletitud a los reinos en los que no se aplica. Se puede extender a otras teorías matemáticas, pero se requiere que las otras teorías incluyan la teoría de números. La geometría euclidiana (esa parte de la geometría plana cubierta por los primeros cuatro libros de Elementos de Euclides) no incluye la teoría de números; De hecho, es una teoría completa. El teorema de incompletitud no se aplica a situaciones fuera de las matemáticas.

Los ejemplos más fáciles de ver están en informática.
Por ejemplo, es indecidible encontrar un programa que pueda verificar si otro programa terminará.
Otro ejemplo: es indecidible encontrar un programa que pueda verificar si un polinomio multivariado con coeficientes enteros admite un cero.

El teorema de incompletitud de Godel dice que hay algunos teoremas que no podemos probar que sean verdaderos o falsos. Y sí, hay algunos que puedes relacionar en la vida diaria: ¿tu computadora parece estar atrapada en bucles sin fin? No hay un método general para saber si alguna vez terminará.

Alguien con más sofisticación matemática / filosófica podría responder mejor, pero brevemente este teorema y sus corolarios significan que ni siquiera es posible, en principio, definir una idea universal de “verdad”. Es decir, toda verdad solo puede ser relativa a un dominio restringido y modesto de hechos / ideas.