¡Explicaré la prueba de una manera simple!
ANTECEDENTES
Fermat conjeturó que no hay tres enteros positivos [matemática] a, b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] satisfacen la ecuación [matemática] a ^ n + b ^ n = c ^ n [/ matemática] para cualquier entero valor de [matemática] n [/ matemática] mayor que [matemática] 2. [/ matemática] Por ejemplo, no tenemos ningún número entero [matemática] c [/ matemática] tal que [matemática] 3 ^ 4 + 4 ^ 4 = c ^ 4. [/ Matemáticas]
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Fermat publicó la prueba para el caso especial de [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas] en el que aplica el concepto de Descenso infinito que se describe como: Sea [matemáticas] P [/ matemáticas] una propiedad que los enteros pueden o pueden no poseer Si una suposición de que un número entero positivo [matemática] n_0 [/ matemática] tiene propiedad [matemática] P [/ matemática] lleva a la existencia de un entero positivo más pequeño [matemática] n_1 <n_0 [/ matemática] que también satisface [matemática] P [/ math] , entonces ningún entero positivo tiene esa propiedad.
PRUEBA
Queremos demostrar que no hay soluciones para la ecuación [matemáticas] x ^ 4 + y ^ 4 = z ^ 4 [/ matemáticas], para valores positivos de [matemáticas] x, y, z. [/ Matemáticas] Se convierte resulta un poco más fácil demostrar el resultado más general de que no hay solución en enteros positivos para la ecuación [matemática] x ^ 4 + y ^ 4 = z ^ 2 [/ matemática] (la suma de dos cuartas potencias ni siquiera puede ser un cuadrado perfecto, y mucho menos un cuarto poder).
Un triple [matemático] (a, b, c) [/ matemático] de enteros positivos se llama Triple pitagórico si [matemático] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. [/ Matemático] Se denomina pitagórico fundamental Triple si [matemática] a, b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] no tienen un factor común mayor que [matemática] 1 [/ matemática]. Para cualquier Triple pitagórico fundamental , uno de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] es par y el otro es impar. Usemos la letra [math] a [/ math] para referirnos al par, [math] b [/ math] al impar. Luego hay enteros positivos [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] que son relativamente primos de manera que:
[matemáticas] a = 2mn, b = m ^ 2-n ^ 2, c = m ^ 2 + n ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = 4m ^ 2n ^ 2 + (m ^ 2-n ^ 2) ^ 2 = (m ^ 2 + n ^ 2) ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora suponga que [matemáticas] x ^ 4 + y ^ 4 = z ^ 2 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] (x ^ 2, y ^ 2, z) [/ matemáticas] es un Triple pitagórico . Si [matemática] x, y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] no tienen un factor primo común, entonces [matemática] ([/ matemática] [matemática] x ^ 2, y ^ 2, z) [/ math] es un Triple pitagórico fundamental . Uno de [math] x [/ math] y [math] y [/ math] es par y el otro impar; usemos [math] x [/ math] para denotar el par. Luego, según la teoría de los triples pitagóricos, existen enteros positivos primos [matemáticos] m [/ matemáticos] y [matemáticos] n [/ matemáticos] tales que:
[matemáticas] x ^ 2 = 2mn, y ^ 2 = m ^ 2-n ^ 2, z = m ^ 2 + n ^ 2 [/ matemáticas]
Podemos reescribir la segunda ecuación como [matemáticas] n ^ 2 + y ^ 2 = m ^ 2 [/ matemáticas]. Sabemos que [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] no tienen un factor común mayor que [matemática] 1 [/ matemática], entonces [matemática] (n, y, m) [/ matemática] es un triple pitagórico fundamental . Sabemos que [math] y [/ math] es impar, por lo que [math] n [/ math] debe ser el par. Por lo tanto, apelando a la teoría de los triples pitagóricos una vez más, hay enteros positivos primos [math] r [/ math] y [math] s [/ math] tales que:
[matemáticas] n = 2rs, y = r ^ 2-s ^ 2, m = r ^ 2 + s ^ 2 [/ matemáticas]
La pieza final del rompecabezas es el hecho de que si el producto de dos enteros positivos relativamente primos es un cuadrado perfecto, entonces cada uno individualmente es un cuadrado perfecto. De esto se deduce que [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] n / 2 [/ matemáticas] son cuadrados perfectos, ya que el producto es [matemáticas] m (n / 2) = (2mn / 4) = (x / 2) ^ 2 [/ matemática] ([matemática] x [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] son pares, entonces [matemática] x / 2 [/ matemática] y [matemática] n / 2 [/ matemáticas] son enteros).
También se deduce que [math] r [/ math] y [math] s [/ math] son cuadrados perfectos, ya que el producto es [math] rs = (2rs / 2) = (n / 2) [/ math] que Es un cuadrado perfecto.
Por lo tanto, al establecer [matemática] r = u ^ 2, s = v ^ 2, m = w ^ 2, [/ matemática] la ecuación [matemática] m = r ^ 2 + s ^ 2 [/ matemática] se convierte en [matemática] u ^ 4 + v ^ 4 = w ^ 2 [/ matemáticas]. Todo lo que queda para completar la prueba es mostrar que [matemática] w <z [/ matemática], que sigue porque [matemática] z = m ^ 2 + n ^ 2 = w ^ 4 + n ^ 2 [/ matemática], entonces [math] w ^ 4 <z [/ math], y como [math] w [/ math] es un entero positivo, esto implica [math] w <z [/ math] también. Por lo tanto, encontramos un entero positivo [matemático] w [/ matemático] que es incluso más pequeño que el entero positivo más pequeño [matemático] z [/ matemático] que satisface la ecuación [matemática] x ^ 4 + y ^ 4 = z ^ 4 [ /matemáticas]. Por lo tanto, mediante la aplicación de Descenso infinito no existe una solución para la ecuación [matemática] x ^ 4 + y ^ 4 = z ^ 4. [/ Matemática]
APLICACIÓN PRÁCTICA
El teorema se puede aplicar para determinar la racionalidad de cualquier número finito en particular.
