El último dígito de un cálculo es el resto después de dividir el resultado entre 10. Esto se escribe como [matemáticas] x \ mod \ 10 [/ matemáticas] en matemáticas. Has descubierto que
[matemáticas] 2 ^ {4k + 1} = 2 \ mod \ 10 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ {4k + 2} = 4 \ mod \ 10 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ {4k + 3} = 8 \ mod \ 10 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ {4k} = 6 \ mod \ 10 [/ matemáticas]
donde k es un número entero positivo. Aquí está la razón por la cual esto funciona. Comencemos con el último:
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[matemáticas] 2 ^ {4k} = {2 ^ 4} ^ k = 16 ^ k [/ matemáticas]
Ahora se puede demostrar que el producto de dos números que terminan con el dígito 6 es otro número que termina con el dígito 6. La razón es simplemente porque [matemáticas] 6 \ veces 6 = 36 [/ matemáticas], que termina con a 6. Por lo tanto, 16 ^ k siempre terminará con un 6 y, por lo tanto, también lo hará 2 a la potencia de un múltiplo de 4.
Ahora para [matemáticas] 2 ^ {4k + 1} = 2 ^ {4k} \ veces 2 [/ matemáticas]. Como [math] 2 ^ {4k} [/ math] termina con un 6, [math] 2 ^ {4k} \ times 2 [/ math] debe terminar con un 2, ya que [math] 6 \ times 2 = 12 [ / math], que termina con un 2. En el caso de [math] 2 ^ {4k + 2} = 2 ^ {4k} \ times 2 ^ 2 [/ math], el último dígito debe ser el último dígito de [ matemáticas] 6 \ veces 2 ^ 2 [/ matemáticas], o el último dígito de 24, es decir, 4. Finalmente, para el caso [matemáticas] 2 ^ {4k + 3} = 2 ^ {4k} \ veces 2 ^ 3 [ / math], el último dígito debe ser el de [math] 6 \ times 2 ^ 3 [/ math] u 8.
Para los últimos dos dígitos, las cosas son un poco más complicadas, pero realiza el mod 100 en lugar del mod 10, y para los últimos tres dígitos, realiza el mod 1000 en lugar del mod 10.
