Entonces tenemos un pozo potencial de [matemática] \ delta [/ matemática], [matemática] V (x) = U_0 \ delta [/ matemática], donde [matemática] U_0 = \ frac {-h k_0} {2 m} [ /matemáticas].
Para simplificar, supongamos que el potencial es [matemática] U_0 [/ matemática] en [matemática] x = 0 [/ matemática] y cero en cualquier otro lugar.
También podemos ilustrar el problema con una imagen:
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(Imagen cortesía de David J. Griffiths – Introducción a la mecánica cuántica, Pearson Prentice Hall 2005 )
Aquí mostraré los estados vinculados y potenciales.
Estados Unidos
Siguiendo la ecuación de Schrodinger:
[matemáticas] H \ phi = E \ phi [/ matemáticas] (1)
[matemáticas] [\ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ delta ^ 2} {\ delta x ^ 2} – U_0 \ delta (x)] \ phi = E \ phi [/ math] ( 2)
Entonces
[matemáticas] \ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ delta ^ 2 \ phi} {\ delta x ^ 2} – U_0 \ delta (x) \ phi = E \ phi [/ math] en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] (3)
y
[matemáticas] \ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ delta ^ 2 \ phi} {\ delta x ^ 2} = E \ phi [/ matemáticas] en cualquier otro lugar (4)
Resolviendo la ecuación diferencial (4) :
[matemáticas] \ frac {\ delta ^ 2 \ phi} {\ delta x ^ 2} = \ frac {2mE} {\ hbar ^ 2} \ phi [/ matemáticas] (5)
obtenemos una solución general en forma de:
[math] \ phi = Ae ^ {kx} + Be ^ {- kx} + Ce ^ {kx} + De ^ {- kx} [/ math] ( / math) (6)
k es real ya que el valor de E es negativo (de lo contrario, no sería un estado límite para un pozo potencial negativo, ya que el estado límite debe tener una energía menor que el borde del pozo, que en este caso es E = 0). .
Ahora ya que si [matemáticas] x 0 [/ math], nos quedamos con:
[matemáticas] \ phi = Ae ^ {kx}, x 0 [/ matemáticas] (7)
La función debe, por supuesto, ser continua en [matemática] x = 0 [/ matemática], entonces [matemática] A = G [/ matemática], por lo tanto
[matemáticas] \ phi = Ae ^ {kx}, x \ leqslant 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ phi = Ae ^ {- kx}, x \ geqslant 0 [/ matemáticas] (8)
Ahora, debemos usar la información en x = 0 para determinar los coeficientes y la energía. Recordando (3) :
[matemáticas] \ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ delta ^ 2 \ phi} {\ delta x ^ 2} – U_0 \ delta (x) \ phi = E \ phi [/ math]
Para resolver la ecuación diferencial, básicamente integramos ambos lados con respecto a x sobre una región infinitesimalmente pequeña [matemáticas] – \ epsilon [/ matemáticas] y [matemáticas] + \ epsilón [/ matemáticas] alrededor del potencial delta y luego dejamos [matemáticas ] \ epsilon [/ math] ir a cero. Entonces:
[matemáticas] \ int _ {- \ epsilon} ^ {+ \ epsilon} \ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ delta ^ 2 \ phi (x)} {\ delta x ^ 2} dx – int _ {- \ epsilon} ^ {+ \ epsilon} U_0 \ delta (x) \ phi (x) dx = \ int _ {- \ epsilon} ^ {+ \ epsilon} E \ phi (x) dx [/ math] ( 9)
Pero como el potencial delta es [matemática] U_0 [/ matemática] en [matemática] x = 0 [/ matemática] y cero en cualquier otro lugar:
[matemáticas] \ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} (\ frac {\ delta \ phi (x)} {\ delta x} \ bigg \ rvert _ {+ \ epsilon} – \ frac {\ delta \ phi ( x)} {\ delta x} \ bigg \ rvert _ {- \ epsilon}) – U_0 \ phi (0) = E \ int _ {- \ epsilon} ^ {+ \ epsilon} \ phi (x) dx [/ math] ( 10)
Luego, el lado derecho de la ecuación irá a cero ya que [math] \ phi [/ math] es finito y lo integramos en un ancho cero. Por lo tanto:
[matemáticas] \ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} (\ frac {\ delta \ phi (x)} {\ delta x} \ bigg \ rvert _ {+ \ epsilon} – \ frac {\ delta \ phi ( x)} {\ delta x} \ bigg \ rvert _ {- \ epsilon}) = \ frac {-2mU_0} {\ hbar ^ 2} \ phi (0) [/ math] (11)
Ahora recordemos (8) .
[matemáticas] \ phi = Ae ^ {kx}, [/ matemáticas] si x se acerca a cero desde el lado negativo
[math] \ phi = Ae ^ {- kx}, [/ math] si x se acerca a cero desde el lado positivo
y
[matemáticas] \ frac {\ delta \ phi (x)} {\ delta x} = -Ake ^ {- kx}, x> 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ delta \ phi (x)} {\ delta x} = + Ake ^ {+ kx}, x <0 [/ matemáticas]
y en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {- k 0} = e ^ {+ k 0} = 1 [/ matemáticas]
Entonces, para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas] (aproximación de [matemáticas] + \ epsilon [/ matemáticas])
[matemáticas] \ frac {\ delta \ phi (x)} {\ delta x} \ bigg \ rvert_0 = -Ak [/ math]
Y para [matemáticas] x <0 [/ matemáticas] (aproximación de [matemáticas] – \ epsilon [/ matemáticas]):
[matemáticas] \ frac {\ delta \ phi (x)} {\ delta x} \ bigg \ rvert_0 = Ak [/ matemáticas]
Por lo tanto de (11) obtenemos:
[matemática] (-Ak) – (Ak) = -2Ak [/ matemática] [matemática] = \ frac {-2mU_0} {\ hbar ^ 2} \ phi (0) [/ matemática] (12)
Como [math] \ phi (0) = A [/ math] obtenemos:
[matemáticas] -2Ak = \ frac {-2mU_0} {\ hbar ^ 2} A [/ matemáticas] (13)
[matemática] k = \ [/ matemática] [matemática] frac {mU_0} {\ hbar ^ 2} [/ matemática] (14)
Para obtener A solo necesitamos normalizar la función:
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ vert \ phi (x) \ vert ^ 2 dx = 2 \ vert A \ vert ^ 2 \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {2kx} dx = \ frac {\ vert A \ vert ^ 2} {k} = 1 [/ math] (15)
Lo que da:
[matemáticas] A = \ sqrt {k} = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {\ hbar} [/ matemáticas] (16)
Conociendo A, háganos saber E (solo conéctelo en la ecuación de schrodinger), dando:
[matemáticas] E = – \ frac {mU_0 ^ 2} {2 \ hbar ^ 2} [/ matemáticas] (17)
Tener en cuenta que aquí SOLO hay un estado límite y, por lo tanto, una energía permitida. No importa cuán fuerte sea el potencial delta, es decir, cuán grande es [matemática] U_0 [/ matemática], siempre hay un estado unido y exactamente uno .
La función de onda, como puede ver, es básicamente una función que alcanza su punto máximo en x = 0 y decae exponencialmente en + x y -x. Ver la figura (fuente: ibid ):
Estados dispersos
Ahora, ¿qué pasa con los estados de dispersión? ¡Aquí E es positivo, es decir, los estados están bien por encima del potencial!
De acuerdo con la ecuación de Schrodinger:
[matemáticas] \ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ delta ^ 2 \ phi} {\ delta x ^ 2} = E \ phi [/ matemáticas]
con solución:
[matemáticas] \ phi = Ae ^ {ik x} + Be ^ {- ik x} + Ce ^ {ik x} + De ^ {- ik x} [/ matemáticas] (18)
Donde k es REAL.
También:
[matemáticas] k \ equiv \ frac {\ sqrt {2mE}} {\ hbar} [/ matemáticas] (18a)
Básicamente, la solución son las ondas planas, al igual que para la partícula libre , sin embargo, los coeficientes varían debido a la presencia del pozo.
Como la función es continua debemos tener:
[matemáticas] A + B = C + D [/ matemáticas] (19)
Por lo tanto: [matemáticas] \ phi (0) = A + B = C + D [/ matemáticas] (19a)
Los derivados son:
[matemáticas] ik (Ae ^ {kx} – Be ^ {- kx}) [/ matemáticas] para x <0 (20a)
y
[matemáticas] ik (Ce ^ {kx} – De ^ {- kx}) [/ matemáticas] para x> 0 (20b)
Ahora volviendo al truco que hicimos en la ecuación (9) (integrándolo en una pequeña región y dejándolo ir a cero)
[matemáticas] \ int _ {- \ epsilon} ^ {+ \ epsilon} \ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ delta ^ 2 \ phi (x)} {\ delta x ^ 2} dx – \ int _ {- \ epsilon} ^ {+ \ epsilon} U_0 \ delta (x) \ phi (x) dx = \ int _ {- \ epsilon} ^ {+ \ epsilon} E \ phi (x) dx [/ math] (21)
Desde que tenemos:
[matemáticas] \ frac {\ delta \ phi (x)} {\ delta x} \ bigg \ rvert _ {+} = ik (CD) [/ matemáticas] (22a)
[matemáticas] \ frac {\ delta \ phi (x)} {\ delta x} \ bigg \ rvert _ {-} = ik (AB) [/ matemáticas] (22b)
y recordando (19a) obtenemos:
[matemáticas] ik [(CD) – (AB)] = ik (CD-A + B) = – \ frac {2mU_0} {\ hbar ^ 2} (A + B) [/ matemáticas] (23)
O:
[matemática] C – D = A (1 + 2i \ beta) – B (1-2i \ beta) [/ matemática], con [matemática] \ beta \ equiv \ frac {mU_0} {\ hbar ^ 2 k} [ / matemáticas] (23a)
Como no hay onda proveniente de la derecha (región + x), podemos establecer D = 0 .
Por lo tanto:
[matemáticas] C = A (1 + 2i \ beta) – B (1-2i \ beta) [/ matemáticas] (24)
Entonces tenemos los coeficientes que necesitamos:
A = onda incidente
B = onda reflejada
C = onda transmitida.
Resolviendo:
[matemáticas] B = \ frac {i \ beta} {1-i \ beta} A [/ matemáticas] (25a)
[matemáticas] C = \ frac {1} {1-i \ beta} A [/ matemáticas] (25b)
Ahora el coeficiente de reflexión R es:
[matemáticas] R \ equiv \ frac {\ vert B \ vert ^ 2} {\ vert A \ vert ^ 2} = \ frac {\ beta ^ 2} {1+ \ beta ^ 2} = \ frac {1} { 1 + 2 \ hbar ^ 2E / mU_0 ^ 2} [/ matemática] (26a)
y el coeficiente de transmisión T es:
[matemáticas] T \ equiv \ frac {\ vert F \ vert ^ 2} {\ vert A \ vert ^ 2} = \ frac {1} {1+ \ beta ^ 2} = \ frac {1} {1 + mU_0 ^ 2/2 \ hbar ^ 2E} [/ matemáticas] (26b)
Además, la suma de las probabilidades debe ser una, es decir:
[matemática] R + T = 1 [/ matemática], ¡ya que la onda se transmite O se refleja!
¿Pregunta? ¿Qué es la E?
La respuesta es CUALQUIER valor mayor que 0 . El espectro es continuo y, por lo tanto, E puede tomar cualquier valor (positivo).
Tenga en cuenta que cuanto mayor sea E, mayor será el coeficiente de transmisión y, por lo tanto, menor será el coeficiente de reflexión, como se esperaba.
Otra cosa importante es que estas ondas planas no son normalizables . Sin embargo, al igual que para la partícula libre , es posible formar combinaciones lineales normalizables de los estados estacionarios. Los verdaderos estados físicos serán entonces “paquetes de ondas” formados por combinaciones lineales normalizables de estos estados estacionarios no normalizables.
