En primer lugar, un campo vectorial y un campo escalar son dos objetos distintos. Un campo vectorial proporciona un vector como salida (supongamos: vector tridimensional nuevamente, también esta restricción no es necesaria), mientras que un campo escalar proporciona un escalar como salida. La entrada a los dos mapas son ambos “vectores” en 3 dimensiones, para cumplir con su pregunta. Por lo tanto, “el mismo comportamiento” de un campo escalar y un vector es un poco desafortunadamente formulado, lo siento.
Según la siguiente definición, un campo escalar en 3D es una función,
[matemáticas] \ phi: \ mathbb {R} ^ 3 \ rightarrow \ mathbb {R}, [/ math]
mientras que un campo vectorial es una función de valor vectorial,
[math] \ mathbb {A}: \ mathbb {R} ^ 3 \ rightarrow \ mathbb {R} ^ 3, [/ math]
Suponga que [math] x = x (t), y = y (t), z = z (t), [/ math] son los argumentos de cada una de estas funciones.
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Esto permite expresar la derivada total del campo escalar y del vector como,
[matemáticas] \ dfrac {d \ phi} {dt} = \ sum _ {\ lambda = x, y, z} \ dfrac {\ partial \ phi} {\ partial \ lambda} \ dfrac {d \ lambda} {dt} [/matemáticas]
y,
[matemáticas] \ dfrac {d \ mathbf {A}} {dt} = \ sum _ {\ mu = x, y, z} \ sum _ {\ lambda = x, y, z} \ dfrac {\ partial A _ {\ mu }} {\ partial \ lambda} \ dfrac {d \ lambda} {dt} \ hat {e} _ {\ mu}. [/ math]
En estas ecuaciones, las sumas se llevan a cabo sobre [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas] en notación perezosa.
Se ve por la expectativa que la derivada total del campo vectorial en sí es nuevamente un campo vectorial, mientras que la derivada total del campo escalar es nuevamente un campo escalar.
