Nota: al momento de escribir, esta pregunta originalmente decía: “Dado que el cambio en la velocidad de un objeto en reposo implica una cascada de derivadas de posición de orden superior (con respecto al tiempo), el movimiento debe representarse como una serie de funciones de posición de Fourier en lugar de una suma finita de funciones de posición?
De hecho, algo similar a esto se hace en la mayoría de los libros de texto cuánticos, pero sería un error táctico aplicar este enfoque en la mecánica clásica.
He aquí por qué no:
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- Estoy a punto de graduarme como ingeniero eléctrico. ¿Puedo ir a la escuela de posgrado de física / matemáticas / informática?
- ¿Por qué la gravedad necesita ser representada por un tensor de rango 2? ¿Qué es lo que extrañaríamos si solo usáramos vectores de rango inferior con solo la fuerza y la orientación del campo gravitacional?
- Una serie de Fourier implica claramente que está ocurriendo un fenómeno oscilatorio, que no es cierto para las partículas puntuales en la mecánica clásica. Las partículas puntuales son exactamente eso: partículas , con posición y velocidad definidas. Para la mayoría de los propósitos en mecánica clásica, esto es lo suficientemente bueno.
- No siempre es posible conciliar esta expansión de posición con ecuaciones que le permiten derivar la posición en primer lugar. La mecánica newtoniana o la mecánica hamiltoniana / lagrangiana pueden simplemente no producir una función de posición que pueda escribirse como una serie de Fourier; puede haber una gran cantidad de funciones, pero no todas. En tal caso, dado que uno está escribiendo funciones de posición como series de Fourier, y dado que no hay series de Fourier adjuntas para tal función, tendríamos que concluir que existen algunas posiciones que simplemente no tienen sentido desde un punto de vista clásico . Es mucho mejor evitar toda esa confusión innecesaria a favor de una interpretación que se garantiza que existe para la mayoría de las funciones físicamente interesantes.
- En escalas cuánticas, la posición no es una función, es un operador, es decir, algo que multiplicas con otra función para activar la acción. En la mecánica cuántica, el operador de posición es solo una función delta de Dirac (una función exótica que básicamente se puede considerar como un pico repentino en un punto y cero en cualquier otro lugar) con el que tienes que multiplicar la función de onda. En tal caso, solo puede hablar de expandir la función de onda como una serie de Fourier, no posicionarse, porque la posición ya no es una función en sí misma. Para obtener la posición, debe multiplicar la función de onda con el operador de posición (y luego resolver los valores propios, etc., pero no entraré en eso).
Ahora, como alude el último punto, incluso en mecánica cuántica, nunca escribimos el operador de posición como una serie de Fourier. Sin embargo, la función de onda, una entidad conceptualmente diferente que el operador de posición o incluso la posición misma, generalmente se puede expresar como una serie de Fourier (dependiendo de la función de onda, por supuesto) y en muchos casos, particularmente para la de una partícula sin potencial actuando sobre él, una partícula libre, por así decirlo: no tiene otra alternativa que usar una serie de Fourier. Sin embargo, en estos casos, la interpretación es siempre que una partícula es la superposición de muchas funciones de onda posibles diferentes, todas se mueven a velocidades ligeramente diferentes; no son una medida de una cantidad particular como el momento o la posición.
Buen intento, sin embargo!
