El límite de su región se compone de 6 curvas diferentes, por lo que parece poco probable que haya una sola transformación que facilite este cálculo.
Aquí hay una forma de calcular la integral. Vea el final de la respuesta para otra forma que probablemente sea un poco más fácil, aunque en teoría es esencialmente la misma. Considere el campo vectorial 2D
[matemáticas]
\ vec F (x, y) = \ langle 0, \ frac {1} {2} y \ log (x ^ 2-y ^ 2) \ rangle.
[/matemáticas]
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Luego
[matemáticas]
\ mathrm {curl} (\ vec F) = \ frac {xy} {x ^ 2-y ^ 2},
[/matemáticas]
entonces el teorema de Green da
[matemáticas]
\ iint_D \ frac {xy} {x ^ 2-y ^ 2} \, dx \, dy = \ oint _ {\ partial D} \ vec F \ cdot d {\ vec r}.
[/matemáticas]
(En notación clásica, la última integral es solo
[matemáticas] \ oint _ {\ parcial D} \ frac {1} {2} y \ log (x ^ 2-y ^ 2) \, dy. [/ math])
La última integral de línea es una suma de 6 integrales de línea, ya que el límite de [math] D [/ math] tiene 6 piezas.
El límite se compone de 2 segmentos de línea horizontal, 2 arcos circulares y 2 arcos hiperbólicos.
Los segmentos de línea horizontal no contribuyen nada desde [math] dy / dt = 0 [/ math] cuando parametrizamos dicha línea.
La integral a lo largo de una pieza hiperbólica (digamos [matemática] x ^ 2-y ^ 2 = 9 [/ matemática]) se puede calcular parametrizándola por
[matemáticas] x = 3 \ cosh t [/ matemáticas]
[matemáticas] y = 3 \ senh t, [/ matemáticas]
y la integral se reduce a la única variable integral
[matemáticas] \ int \ frac {1} {2} (3 \ sinh t) \ log (9) (3 \ cosh t) \, dt, [/ math]
que es un múltiplo escalar de [math] \ cosh ^ 2 (t). [/ math]
Por otro lado, a lo largo de un círculo (digamos [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 16, [/ matemáticas]) parametrizamos por
[matemáticas] x = 4 \ cos t [/ matemáticas]
[matemáticas] y = 4 \ sen t [/ matemáticas]
y la integral se reduce a
[matemáticas] \ int \ frac {1} {2} (4 \ sin t) \ log (16 (\ cos ^ 2 t – \ sin ^ 2 t)) (4 \ cos t) \, dt, [/ math ]
y esta integral también se puede evaluar (use la fórmula de doble ángulo, luego calc 1).
Todo lo que queda es encontrar los puntos de intersección de los arcos para obtener los límites de integración en las integrales de variable única; Esto es sencillo.
2da forma: puede combinar su cambio de variables con la técnica del teorema de Green. Si hacemos el cambio de variables [matemáticas] u = x ^ 2, v = y ^ 2 [/ matemáticas], los cálculos serán más simples, sin embargo, debemos tener cuidado. Este cambio de variables no es completamente válido, ya que [math] y [/ math] puede ser negativo en la región original [math] D [/ math]. Así, por ejemplo, los puntos (1,1 / 2) y (1, -1 / 2) están descritos por las mismas coordenadas (u, v). Sin embargo, observe que la función [matemática] xy / (x ^ 2-y ^ 2) [/ matemática] es impar en la variable [matemática] y [/ matemática]; por lo tanto, se deduce que la contribución a la integral de los puntos con [matemáticas] -1 \ leq y \ leq 0 [/ matemáticas] cancela la contribución de los puntos con [matemáticas] 0 \ leq y \ leq 1 [/ matemáticas]; por lo tanto, podemos tomar [matemáticas] D [/ matemáticas] para ser definido por las desigualdades [matemáticas] 1 \ leq y \ leq 2 [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] -1 \ leq y \ leq 2 [/ matemáticas] . En el plano [math] uv [/ math] esta región se transforma en la región hexagonal
Para hacer la integral sobre esta región, necesitarás hacer 3 integrales dobles o usar el teorema de Green y hacer un montón de integrales de línea. Probablemente iría con el teorema de Green nuevamente, pero de cualquier manera debería funcionar.
Tercero, probablemente la mejor manera: todavía necesitamos la reducción del método anterior, donde asumimos [math] 1 \ leq y \ leq 2 [/ math]. Realice un cambio diferente de variables en su lugar:
[matemáticas] u = x ^ 2- y ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] v = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas].
Entonces el integrando se convierte
[matemáticas] \ iint_D \ frac {8} {u} \, du \, dv [/ matemáticas]
y la región de integración se ve como
Aún necesita cortar la región en 3 áreas, pero no se ve tan mal ya que muchos de los segmentos son horizontales o verticales.
