¿Por qué son importantes los homeomorfismos?

Entonces, lo primero es que el homomorhismo y el homeomorfismo son dos cosas diferentes.

El homeomorfismo es un mapeo definido de un espacio topológico a otro espacio topológico de modo que el mapeo satisfaga lo siguiente

• El mapeo es biyectivo.
• el mapeo es bi-continuo (es decir, el mapeo y el inverso del mapeo son continuos).

¿Por qué son importantes los homeomorfismos?

Para nosotros, los siguientes diagramas matemáticos son diferentes.

Pero para un topólogo, estos son equivalentes y lo llaman equivalente topológico. Entonces, para los topólogos, estudian solo uno para comprender las propiedades de los tres a pesar de estudiar todos.

Aquí hay una respuesta menos técnica. Dado un espacio topológico (como un círculo, una esfera, una pelota o un toro), un homeomorfismo puede establecer rigurosamente una analogía realmente buena que puede ayudarlo a ver algo que antes no era obvio. Muestra que dos espacios son estructuralmente iguales, a pesar de los diferentes nombres, definiciones o procedimientos de construcción. Ser capaz de distinguir clones y ver diferencias es un requisito previo básico para comprender la estructura de los objetos. Por ejemplo, un donut es homeomorfo a una taza con asa, pero no homeomorfo a una pelota. En particular, no puedes transformar gradualmente una bola en una rosquilla sin hacer un agujero en ella (lo que cambiaría su estructura). Pero el mango de una taza ya tiene un agujero.

Fundamentalmente, ¿cómo podemos comenzar a entender un área si ni siquiera podemos decir cuándo dos cosas observadas son “moralmente” iguales? La clave está en griego.

homeo = igual / similar,

morph = cuerpo / forma.

Entonces, para comenzar a estudiar una variedad de objetos, primero debemos ser capaces de reconocer cuándo dos de ellos son iguales.

Ahora en la categoría Superior de espacios topológicos y los mapas continuos entre ellos, decimos que dos espacios son moralmente iguales <=> hay un homeomorfismo entre ellos.

Entonces, los homeomorfismos son importantes ya que son la base sobre la cual podemos comenzar a construir una teoría de los espacios topológicos.