La respuesta en su completa abstracción puede sorprenderte.
Una respuesta muy abstracta (y portátil) es que una proyección es algo, llámelo [math] p [/ math], que satisface [math] p ^ 2 = p [/ math]. En casi todos los casos, incluso cuando no hay nada manifiesto sobre lo que [matemática] p [/ matemática] podría estar proyectando, pensar en [matemática] p [/ matemática] como una proyección ayuda a su intuición. (Al menos, hizo el mío).
Esto ciertamente se aplica a los ejemplos concretos dados en las otras dos respuestas. Pero aquí hay otro ejemplo:
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Supongamos que estamos pensando en funciones continuas. Para empezar, digamos que estamos hablando de funciones continuas en toda la línea real. ¿Hay funciones continuas que satisfagan [math] f (x) ^ 2 = f (x) [/ math] para todos [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math]? (Aquí, [matemática] f ^ 2 [/ matemática] significa multiplicación puntual).
Es posible que pueda asegurarse de que las únicas funciones son [matemáticas] f (x) = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas]. Estarías en lo correcto.
Pero cambiemos un poco. En lugar de funciones continuas en todos [math] \ mathbb {R} [/ math], ¿qué tal las funciones continuas en un espacio desconectado? Digamos, [matemáticas] [0,1] \ taza [3,4] [/ matemáticas].
Por supuesto, todavía tienes las funciones constantes. Pero ahora tienes otros. Por ejemplo, [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] en [matemática] [0,1] [/ matemática] y [matemática] f (x) = 1 [/ matemática] en [matemática] [3,4 ][/matemáticas]. También tiene una función [matemáticas] g (x) = 1-f (x) [/ matemáticas]. En otras palabras, [math] g [/ math] voltea el 0 y 1 de [math] f [/ math].
¿En qué sentido son estas “proyecciones”? Si tiene alguna función interesante [matemáticas] h [/ matemáticas], por ejemplo, la multiplicación por [matemáticas] f [/ matemáticas] “mata” la parte de [matemáticas] h [/ matemáticas] que no está en [matemáticas] [ 3,4] [/ matemáticas] al multiplicar por [matemáticas] g [/ matemáticas] “mata” la parte de [matemáticas] h [/ matemáticas] que no está en [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas]. O dicho de otra manera, [matemática] f [/ matemática] proyecta en [matemática] [0,1] [/ matemática] y [matemática] g [/ matemática] proyecta en [matemática] [3,4] [/ matemática] .
De hecho, puede probar que si tiene un espacio topológico abstracto que es suficientemente “agradable” (localmente compacto Hausdorff, si conoce esas palabras), entonces está conectado si y solo si las únicas funciones continuas [matemáticas] f [/ matemáticas ] satisfaciendo [matemáticas] f (x) ^ 2 = f (x) [/ matemáticas] para todas [matemáticas] x [/ matemáticas] en el espacio son las funciones constantes [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] f (x) = 1 [/ matemáticas].
Y no puedo evitar detenerme en este punto mucho más profundo: tuvimos un fenómeno topológico (conectividad) que se correlacionó con un fenómeno algebraico (soluciones a [matemáticas] f ^ 2 = f [/ matemáticas]) en su espacio de continuo funciones Resulta que toda la información topológica sobre espacios de Hausdorff localmente compactos está codificada en su álgebra de funciones continuas. Esta es la representación de Gelfand en el contexto de álgebras conmutativas C *. Esa analogía se puede desarrollar a una profundidad increíble en el caso no conmutativo, pero desafortunadamente este no es el lugar. Y desafortunadamente, me temo que ya no soy el tipo para hacerlo.
