Considere la función [math] \ displaystyle f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} x ^ {n} / n ^ {2} [/ math].
Si diferenciamos esta función, encontramos
[matemáticas] f ‘(x) = \ frac {1} {x} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {n}} {n} [/ matemáticas]
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Y la suma de la derecha es una fórmula bien conocida para [matemáticas] – \ log {(1-x)} [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = – \ frac {\ log {(1-x)}} {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = c- \ int_ {2} ^ {x} \ log {(1-t)} \ frac {dt} {t} [/ matemáticas]
Ahora sustituya [math] u = 1-t, \ frac {dt} {t} = \ frac {du} {1-u} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = c- \ int_ {2} ^ {1-x} \ frac {\ log {u}} {1-u} du [/ math]
Sabemos que [matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas], por lo que podemos cambiar el límite de integración a [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y eliminar la constante arbitraria:
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ int_ {1-x} ^ {1} \ frac {\ log {u}} {1-u} du [/ math]
Desafortunadamente, esto no tiene una forma cerrada primaria.
Ver Polylogarithm – Wikipedia.
Sin embargo, la suma es la misma que [matemáticas] \ displaystyle \ int_ {1} ^ {4/3} \ frac {\ log {u}} {u-1} du = – \ Li_ {2} (- \ frac {1} {3}) \ aproximadamente 0.309033126487808472317033009 \ cdots [/ math]
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