Aquí hay una intuición (para la ecuación de transporte; sé que las características existen en situaciones más complicadas, pero no conozco los detalles).
El primer paso es convertir de u (x, t) a u (x (t), t) para alguna función x (t).
Supongamos que tenemos un “detector” que mide u en algún punto en particular. Luego, movemos este detector con el tiempo. Esto nos da nuestra x (t). Las medidas de este detector son entonces u (x (t), t).
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Ahora, elegimos patrones de movimiento especiales para estos detectores, especial x (t), para que nuestros cálculos funcionen (para el transporte lineal simple, queremos que u (x (t), t) sea una constante). Esta “fórmula especial” para x (t) es la EDO que probablemente aprendió para x (t) cuando aprendió este material.
Una vez que tenga esto, el ODE para x (t) más el PDE original le proporciona una fórmula para las mediciones de este detector: un ODE para u (t) = u (x (t), t). Este ODE le dice qué mide este detector, con la medición inicial del detector igual a u (x (0), 0).
Ahora, suponga que desea encontrar u (xf, tf). Bueno, aquí está el procedimiento aproximado: usted determina dónde debe comenzar un detector para terminar allí mientras se mueve, es decir, resuelva el ODE para x (t), luego resuelva el x (t; x0) para x0 ( t, x), que luego te da x0 (tf, xf). Luego coloca su detector allí para su estado inicial y mide el “valor inicial” u (x0,0). Del ODE que obtuvo para u (t) usando el ODE para x (t) y el PDE, más la condición inicial para u (t) como u (0) = u (x0,0), entonces tiene u (t ) = u (x (t), t) – y en particular, u (x (tf), tf) = u (xf, tf). Entonces resolvió su pregunta para cada xf y cada tf.
