¿Existe un conjunto [matemático] S [/ matemático] cuyo conjunto de poderes es infinitamente contable, es decir, [matemático] 2 ^ {| S |} = | \ mathcal {P} (S) | = | \ mathbb {N} | [/ matemáticas]?

La respuesta es no. Y también es fácil probarlo. Para un conjunto finito de n elementos, la respuesta es obvia. La cardinalidad del conjunto de potencia es [matemática] 2 ^ {n} [/ matemática], por lo tanto no hay biyección entre [matemática] \ mathbb {N} [/ matemática] y [matemática] 2 ^ {n} [/ matemática ] (El principio de los cajones establece que no hay inyección de un conjunto de mayor cardinalidad a un conjunto de menor cardinalidad).

Para un conjunto infinito distinguimos dos casos: el conjunto es incontablemente infinito o contablemente finito. El primer caso es demasiado obvio. Por ejemplo, el conjunto de [math] \ mathbb {R} [/ math] es infinitamente infinito y también lo hace [math] 2 ^ {\ mathbb {R}} [/ math], su conjunto de potencia.

Para el conjunto de contablemente finito, usemos el teorema de Cantor. No hay surjection de S a P (S). Veamos el caso simple de los números naturales.

Ejemplo para [math] \ mathbb {N} [/ math] un conjunto contable finito, no hay surjection y de hecho no hay inyección de [math] \ mathbb {N} [/ math] a P ([math] \ mathbb { N} [/ matemáticas]).

Para un conjunto infinitamente contable [math] \ mathcal {N_ {0}} [/ math] su conjunto de potencia tiene la cardinalidad continua [math] c [/ math] definida como igual a la cardinalidad de [math] \ mathbb {R} [ /matemáticas] . Por lo tanto, [matemática] c = 2 ^ {\ matemática {N_ {0}}} [/ matemática]

No. Cualquier conjunto finito tendrá un conjunto de potencia que es finito. El cardinal infinito más pequeño es [math] \ aleph_0 [/ math], y la cardinalidad del conjunto de potencia de un conjunto infinitamente contable es [math] 2 ^ {\ aleph_0} [/ math], que es infinitamente infinito.

¿Existe un conjunto [matemática] S [/ matemática] tal que [matemática] 2 ^ {| S |} = | \ matemática {P} (S) | = | \ mathbb {N} | [/ matemática] ?

Siempre que tenga al menos el axioma de elección contable, puede construir una inyección de [math] \ mathbb N [/ math] en cualquier conjunto infinito [math] S [/ math] simplemente eligiendo repetidamente un elemento. Eso implica [math] | S | \ geq | \ mathbb N | \ equiv \ aleph_0 [/ math].

Sin embargo, si [math] S [/ math] es finito, sabemos que [math] | \ mathcal P (S) | = 2 ^ {| S |} [/ math] también es finito.

Por lo tanto, [math] | \ mathcal P (S) | = | \ mathbb N | \ Rightarrow | S | = | \ mathbb N | [/ math] y el conjunto de números naturales es el conjunto transfinito más pequeño y su cardinalidad se describe de forma única por [math] \ aleph_0 [/ math].

Sin embargo, si no tienes una opción contable, todas las apuestas están apagadas … PERO, como Jorgen Harmse señala en un comentario que el Power Set es contablemente infinito implica que está bien ordenado, lo que a su vez implica [matemáticas] S [ / math] está bien ordenado, por lo que no necesitamos una elección contable para elegir repetidamente un elemento.

Como otros han señalado, la respuesta es “NO”.

Pero hay otra forma de pensar sobre la pregunta. Los axiomas de ZF capturan (en un nivel extremadamente fundamental) todo lo que se necesita para hacer las matemáticas cotidianas, por lo que un modelo M de ZF contendrá los conjuntos y funciones que vemos en el cálculo, la topología, etc. M contendrá los conjuntos N y R ‘que representan los enteros y (la versión de M) de los reales, y M contendrá el emparejamiento habitual entre P’ (N) y R ‘; pero M no tendrá un emparejamiento f: N <-> R ‘. Dentro de M, los reales y el conjunto de potencia de N parecen incontables.

Sin embargo, estamos pensando en M como un objeto en nuestro mundo matemático (un juguete, que no contiene todo en nuestro mundo). Puede existir un emparejamiento f: N <-> R ‘en nuestro mundo (el mundo real de ZF) haciendo que R’ y P ‘(N) parezcan contables para nosotros, ya que estamos fuera de M. Esto es obviamente cierto cuando M es Un modelo contable de ZF.

Esto puede parecer una trampa, pero conduce a algunas ideas y preguntas muy interesantes. El mundo dentro de un modelo contable M de ZF se parece a las matemáticas que todos conocemos, pero algunas diferencias se arrastran. Los reales R de M son un subconjunto de los reales R vistos fuera de M, pero los enteros N de M son los mismos que nuestros enteros. A P ‘(N), el conjunto de todos los subconjuntos de N encontrados en M, le faltan algunos de los subconjuntos que se ven fuera de M. Pero toda la maquinaria de las matemáticas, cuando se restringe a M, no puede ver que falte nada.

No.

Si un conjunto [matemáticas] \; \; S \; \; [/ math] es finito entonces [math] \; | S | \; [/ math] es un entero finito no negativo y, por lo tanto, [math] \; \; \ mathcal {P} (S) \; = \; 2 ^ {| S |} \; \; [/ math] también lo es Un entero positivo finito.

Si [matemáticas] \; \; | S | = | \ mathbb {N} | \; \; [/ math] luego [math] \; \; \ mathcal {P} (S) \; = \; 2 ^ {| \ mathbb {N} |} \; = \; c \; = | \ mathbb {R } | \;> \; | \ mathbb {N} | \; \; [/ math] por la hipótesis de Cantor.

Por lo tanto, no existe tal conjunto [matemáticas] \; \; S \; \; [/ math] con [math] \; \; | \ mathcal {P} (S) | \; = \; | \ mathbb {N} | \;. \; [/matemáticas]

Así [matemáticas] \; \; | \ mathbb {N} | \; \; [/ math] denotado por alephnaught tiene un estado especial en la clase de todos los números cardinales.

Si [matemáticas] \; \; | S | = | \ mathbb {N} | \; \; [/ math] o [math] \; \; | S |> | \ mathbb {N} | \; \; [/ math] luego [math] \; \; S \; \; [/ math] se convierte en un conjunto infinito y si [math] \; \; | S | <| \ mathbb {N} | \; \; [/ math] entonces [math] \; \; S \; \; [/ math] se convierte en un conjunto finito.

Nunca podremos alcanzar el infinito (/ conjunto infinito) por pasos finitos mediante muchas operaciones como sumas / eliminaciones / multiplicaciones de muchos números finitos.

Si [matemáticas] \; \; | S | = | \ mathbb {N} | \; \; [/ math] entonces podemos construir fácilmente una familia especial de subconjuntos (de [math] \; \; S \; \; [/ math]) que tienen la misma cardinalidad que la de [math] \; \; \ mathbb {N }\;.\;[/matemáticas]

Es interesante notar que la familia de todos los subconjuntos finitos de [matemáticas] \; S \; \; [/ math] también es contable.

1. El conjunto de potencia de un conjunto tiene mayor cardinalidad que el conjunto en sí. (Cantor)
2. El conjunto de potencia de un conjunto finito es finito. De hecho, tiene elementos [matemáticos] 2 ^ n [/ matemáticos] si el conjunto tiene elementos [matemáticos] n [/ matemáticos].
3. [math] \ aleph_0 [/ math] es el cardenal infinito más pequeño.

Si existiera un conjunto de este tipo [matemática] S [/ matemática] cuyo conjunto de poderes tuviera cardinalidad [matemática] \ aleph_0 [/ matemática], no podría ser finito debido al punto 2, por lo que tendría que ser infinito porque [ math] \ aleph_0 [/ math] es infinito en el punto 3. En el punto 1 tendría que tener una cardinalidad menor que [math] \ aleph_0 [/ math]. Pero en el punto 3, no hay un cardenal infinito más pequeño que [math] \ aleph_0 [/ math]. Por lo tanto, tal conjunto no puede existir.

Esta es una consecuencia del Teorema de Cantor.

Supongamos que hay algo de [math] S [/ math] tal que [math] \ mathcal {P} (S) = \ mathbb {N} [/ math]. Sabemos por el teorema de Cantor que [matemática] | S | <| \ matemática {P} (S) | [/ matemática], así que en particular [matemática] | S | <\ aleph_0 [/ matemática], es decir, [matemática ] S [/ math] es finito.

Entonces diga [matemáticas] | S | = n [/ math] para algunos [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math]. Entonces [math] | \ mathcal {P} (S) | = 2 ^ n [/ math], que es finito. Contradicción, por lo que no existe tal conjunto.

Si quisieras ser minucioso al respecto, tal vez probarías que el exponente de los números finitos es finito. Pero eso es bastante obvio.

No, cualquier conjunto con cardinalidad estrictamente menor que aleph-0 es finito, ya que aleph-0 es el cardinal infinito “más pequeño”, y el conjunto de potencia de un conjunto finito sigue siendo finito.