Todo ello.
Existe una idea errónea [1] de que, dado que los axiomas de los espacios topológicos se cuantifican sobre “todos los conjuntos abiertos”, entonces no son expresables en la lógica de primer orden. Esto no es del todo cierto.
Nada impide que los lenguajes de primer orden tengan variables que se extiendan sobre conjuntos o conjuntos de conjuntos, o algo así. La forma más fácil de lograr esto es usar un lenguaje de “dos tipos” o uno de “tres tipos”, pero incluso eso no es necesario.
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Un simple ejemplo puede ser útil. En geometría euclidiana tenemos puntos y líneas. Tendemos a pensar en las líneas como conjuntos de puntos, por lo que “una geometría” es un conjunto de puntos junto con una clase distinguida de subconjuntos de estos puntos, las líneas rectas, que satisfacen varios axiomas.
Pero puede verlo de manera diferente: hay un conjunto de puntos y un conjunto separado de líneas (que no están en todos los conjuntos de puntos, son solo cosas llamadas “líneas”), y una relación particular que dice “esto el punto pertenece a esa línea “. Toda la geometría se puede expresar con esta relación de incidencia.
Lo mismo ocurre con la topología: tendría un conjunto de puntos, un conjunto de “conjuntos abiertos” y un conjunto de “conjuntos de conjuntos abiertos”. Existen varias relaciones entre ellos, y le permiten expresar con precisión qué es una topología sin la necesidad de cuantificar sobre conjuntos arbitrarios de su modelo.
Si no se siente cómodo con los idiomas de dos tipos, manténgase en uno y agregue las relaciones unarias apropiadas para distinguir las cosas.
Una forma de formalizar los axiomas de los espacios topológicos es usar un lenguaje de tres tipos, con variables correspondientes a puntos, conjuntos y conjuntos de conjuntos. Las relaciones indican que un conjunto está abierto, que un punto pertenece a un conjunto y que un conjunto pertenece a un conjunto de conjuntos.
Con eso, puede formalizar el requisito “la unión de conjuntos abiertos está abierta” de la siguiente manera:
Para cada conjunto de conjuntos, si cada miembro de ese conjunto está abierto, entonces existe un conjunto abierto de modo que un punto le pertenece si y solo si pertenece a algún miembro del conjunto original de conjuntos.
Del mismo modo, puede formalizar “el conjunto vacío está abierto”, y así sucesivamente.
Sin embargo, es cierto que la teoría que describimos es más “flexible” de lo estrictamente necesario. Cada espacio topográfico es un modelo de esa teoría, pero también lo son otras estructuras en las que los “conjuntos abiertos” no son en realidad colecciones de puntos. Esto es inevitable: la clase de espacios topológicos de hecho no es “elemental”, lo que significa que no puede ser descrita por una teoría de primer orden.
Sin embargo, esto no es realmente una preocupación para “hacer topología”. Dejando a un lado las sutiles preguntas teóricas del modelo, todos los resultados habituales de la topología se pueden hacer de manera efectiva en un marco como el que describí.
Notas al pie
[1] (¿Por qué) es la topología no primero ordenable?
