Parece que está considerando un subconjunto finito de un espacio métrico. (Hay otros tipos de espacio topológico en los que no necesariamente se cierra un subconjunto finito).
Una forma de definir “cerrado” para un subconjunto [matemática] S [/ matemática] de un espacio métrico [matemática] X [/ matemática] es decir que [matemática] S [/ matemática] está cerrada en [matemática] X [ / math] si [math] S [/ math] contiene todos sus puntos límite. Esta es una condición de la forma “todos los As son Bs” (donde en este caso los As son los puntos límite de [math] S [/ math] y los Bs son los elementos de [math] S [/ math]). Creo que lo que puede estar perdiendo es que en matemáticas consideramos que “todos los As son B” como verdaderos cuando no hay ningún As. Un subconjunto finito de un espacio métrico no tiene puntos límite, por lo que está cerrado porque los contiene a todos (porque no hay ninguno).
Supongamos que tenemos una regla que dice que debe registrar todos los aviones que posee. En este caso, la persona que no poseía ninguno seguramente se consideraría que obedece la regla.
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Hay una explicación que los lingüistas han inventado, por qué a menudo se considera incorrecto decir “todos los As son Bs” cuando no hay ningún As. Dicen que hay una implicatura (Implicatura – Wikipedia), que es algo así como una implicación débil. Si tuviera que decirle, por ejemplo, que todos mis aviones eran aviones de reacción, probablemente se consideraría engañoso (porque no tengo ningún avión). Simplemente no hay ninguna buena razón para hacer afirmaciones sobre “todo” de una colección que sé que está vacía desde el principio.
Una razón por la que es diferente en matemáticas es que en matemáticas es mucho más probable que estemos lidiando con una colección de cosas que pueden o no estar vacías (dependiendo del ejemplo específico). Eso significa que pasamos mucho más tiempo en un contexto en el que sería una molestia tener que seguir diciendo “si hay alguno”. Podríamos definir un conjunto cerrado como un conjunto que contiene todos sus puntos límite, si los hay, o no tiene puntos límite. Pero eventualmente esto se vuelve detallado. Tomar el conjunto vacío como un subconjunto de cualquier conjunto, tomar “todos” sus elementos como si tuvieran en cuenta cualquier propiedad que tengamos en mente, y así sucesivamente, simplifica la lógica de nuestro razonamiento y nos permite evitar crear casos especiales simplemente porque alguna colección pasa a estar vacía. Entonces, solo decimos que para cerrarse tiene que contener todos sus puntos límite, con el entendimiento de que el caso de un conjunto que no tiene puntos límite se cuenta como un “conjunto cerrado”.
