Si y no. Depende de cómo interpretes tus declaraciones.
No hay “declaraciones no demostrables”, al igual que no hay “grandes números”. Ser demostrable o no demostrable tiene sentido en el contexto de un marco particular para probar cosas. Hay declaraciones que no se pueden probar en ZFC. Hay declaraciones que son demostrables en ZFC y no demostrables en PA. Y así.
La mayoría de los matemáticos que trabajan consideran que ZFC es el sistema estándar en el que operan (aunque pocos de ellos pueden citar cuáles son exactamente los axiomas). En general, se supone que la mayoría de las pruebas matemáticas estándar se pueden llevar a cabo en ZFC.
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Entonces, ¿hay declaraciones que no se puedan probar en ZFC? Claro que sí, si suponemos que ZFC es consistente (como lo hace la mayoría de las personas). Si ZFC es inconsistente, entonces lo prueba todo (tanto declaraciones verdaderas como falsas).
Si ZFC es consistente, entonces una declaración que no puede probar es que ZFC es consistente. Esta es una de esas cosas que las personas a menudo interpretan como “oh, sí, pero esta es una declaración autorreferencial, por lo que, por supuesto, no es demostrable, y tampoco es realmente interesante porque es un metateorema, no un teorema”. La pregunta tiene una implicación similar en “ya sabemos acerca de las declaraciones autorreferenciales”.
Sin embargo.
No todas las declaraciones autorreferenciales no son demostrables. Ni siquiera cerca.
Y … ni siquiera está claro qué significa “autorreferencial”. La afirmación “ZFC es consistente” es en realidad una afirmación muy concreta sobre la inexistencia de una determinada secuencia de números. No se está “refiriendo” a sí mismo ni a su creador. Es solo una declaración sobre números.
Pero si todavía siente que esto es de alguna manera “trampa”, aquí hay algunas otras declaraciones concretas que son indecidibles en ZFC:
1) Si el conjunto A tiene menos elementos que el conjunto B, entonces el conjunto A también tiene menos subconjuntos que el conjunto B.
(Si está familiarizado con el lenguaje de los cardenales, esto significa que [matemática] \ alpha <\ beta [/ matemática] implica [matemática] 2 ^ \ alpha <2 ^ \ beta [/ matemática], para los cardenales [matemática ] \ alpha, \ beta [/ math]).
2) No hay una ordenación bien definida de los números reales.
(Es una consecuencia del axioma de elección que los números reales pueden estar bien ordenados, lo que significa que pueden ordenarse de tal manera que cada conjunto de números reales tenga un elemento mínimo. No se conoce tal ordenación que sea explícitamente definible, y la existencia de tal ordenamiento es independiente de ZFC).
3) Erdös demostró que la hipótesis del continuo (que no se puede demostrar en ZFC) es equivalente a la afirmación “existe una incontable familia de funciones analíticas que obtienen innumerables muchos valores en cada punto”. (vea la respuesta de Alon Amit a ¿Cuáles son algunas pruebas interesantes que usan inducción transfinita?)
4) Hay ecuaciones polinómicas (bastante complicadas) en varias variables y coeficientes enteros (también conocidos como ecuaciones diofantinas) que no tienen solución en enteros, pero ZFC no puede probarlo. Esto es una consecuencia de la solución negativa al décimo problema de Hilbert, y dichos polinomios fueron construidos explícitamente (por ejemplo, por Carl y Boroz en A demostrabilidad de codificación polinómica en matemáticas puras o por Jones en la Ecuación universal de diofantina).
5) Todos los axiomas cardinales grandes no son demostrables en ZFC (si ZFC es consistente). Este es más o menos el punto de los grandes cardenales, y proporcionan una forma de medir la cantidad de “empuje extra” que necesita para superponer ZFC para probar varias cosas.
Para obtener más información, consulte ¿Cuáles son algunas declaraciones razonables que son independientes de ZFC?
