¿Hay enunciados matemáticos o axiomas que sabemos que hoy en día caen en el conjunto de enunciados no demostrables, de acuerdo con los teoremas de incompletitud de Godel?

Si y no. Depende de cómo interpretes tus declaraciones.

No hay “declaraciones no demostrables”, al igual que no hay “grandes números”. Ser demostrable o no demostrable tiene sentido en el contexto de un marco particular para probar cosas. Hay declaraciones que no se pueden probar en ZFC. Hay declaraciones que son demostrables en ZFC y no demostrables en PA. Y así.

La mayoría de los matemáticos que trabajan consideran que ZFC es el sistema estándar en el que operan (aunque pocos de ellos pueden citar cuáles son exactamente los axiomas). En general, se supone que la mayoría de las pruebas matemáticas estándar se pueden llevar a cabo en ZFC.

Entonces, ¿hay declaraciones que no se puedan probar en ZFC? Claro que sí, si suponemos que ZFC es consistente (como lo hace la mayoría de las personas). Si ZFC es inconsistente, entonces lo prueba todo (tanto declaraciones verdaderas como falsas).

Si ZFC es consistente, entonces una declaración que no puede probar es que ZFC es consistente. Esta es una de esas cosas que las personas a menudo interpretan como “oh, sí, pero esta es una declaración autorreferencial, por lo que, por supuesto, no es demostrable, y tampoco es realmente interesante porque es un metateorema, no un teorema”. La pregunta tiene una implicación similar en “ya sabemos acerca de las declaraciones autorreferenciales”.

Sin embargo.

No todas las declaraciones autorreferenciales no son demostrables. Ni siquiera cerca.

Y … ni siquiera está claro qué significa “autorreferencial”. La afirmación “ZFC es consistente” es en realidad una afirmación muy concreta sobre la inexistencia de una determinada secuencia de números. No se está “refiriendo” a sí mismo ni a su creador. Es solo una declaración sobre números.

Pero si todavía siente que esto es de alguna manera “trampa”, aquí hay algunas otras declaraciones concretas que son indecidibles en ZFC:

1) Si el conjunto A tiene menos elementos que el conjunto B, entonces el conjunto A también tiene menos subconjuntos que el conjunto B.

(Si está familiarizado con el lenguaje de los cardenales, esto significa que [matemática] \ alpha <\ beta [/ matemática] implica [matemática] 2 ^ \ alpha <2 ^ \ beta [/ matemática], para los cardenales [matemática ] \ alpha, \ beta [/ math]).

2) No hay una ordenación bien definida de los números reales.

(Es una consecuencia del axioma de elección que los números reales pueden estar bien ordenados, lo que significa que pueden ordenarse de tal manera que cada conjunto de números reales tenga un elemento mínimo. No se conoce tal ordenación que sea explícitamente definible, y la existencia de tal ordenamiento es independiente de ZFC).

3) Erdös demostró que la hipótesis del continuo (que no se puede demostrar en ZFC) es equivalente a la afirmación “existe una incontable familia de funciones analíticas que obtienen innumerables muchos valores en cada punto”. (vea la respuesta de Alon Amit a ¿Cuáles son algunas pruebas interesantes que usan inducción transfinita?)

4) Hay ecuaciones polinómicas (bastante complicadas) en varias variables y coeficientes enteros (también conocidos como ecuaciones diofantinas) que no tienen solución en enteros, pero ZFC no puede probarlo. Esto es una consecuencia de la solución negativa al décimo problema de Hilbert, y dichos polinomios fueron construidos explícitamente (por ejemplo, por Carl y Boroz en A demostrabilidad de codificación polinómica en matemáticas puras o por Jones en la Ecuación universal de diofantina).

5) Todos los axiomas cardinales grandes no son demostrables en ZFC (si ZFC es consistente). Este es más o menos el punto de los grandes cardenales, y proporcionan una forma de medir la cantidad de “empuje extra” que necesita para superponer ZFC para probar varias cosas.

Para obtener más información, consulte ¿Cuáles son algunas declaraciones razonables que son independientes de ZFC?

MatemáticasPregunta de existenciaTeorema de incompletitud de Gödel

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Yendo más allá de su pregunta, hay un gran número, un número enormemente infinito de hechos que son verdaderos en cualquier modelo particular de cualquier teoría de conjuntos particular que no solo son indecidibles, sino que ni siquiera pueden establecerse dentro de la teoría. El teorema de Skolem-Löwenheim establece que cualquier teoría de primer orden que tenga un modelo tiene un modelo contable. Uno de estos modelos consiste en todos los objetos de la teoría que tienen descripciones en el lenguaje del modelo. En tal modelo, ni siquiera podemos afirmar que existan otros objetos.

Entre los innumerables números reales solo un subconjunto contable puede ser nombrado y descrito individualmente. Entre la clase mucho más grande de cardenales en ZFC, nuevamente, solo un subconjunto contable puede describirse individualmente. Ninguno de esos subconjuntos puede describirse dentro de la teoría, porque eso nos permitiría usar el Axioma de elección para describir muchos otros objetos. Considere el cardenal más pequeño en ZFC que no tiene descripción, que existe porque los cardenales están bien ordenados. Allí, solo le di una descripción informal que no se puede formalizar en ZFC.

Giuseppe Peano pensó que había demostrado que solo había un modelo de los Números Naturales dentro de sus axiomas, hasta el isomorfismo. Desafortunadamente para su programa, esa fue una prueba esencialmente de segundo orden, utilizando el conjunto de todas las propiedades de los números naturales, o de manera equivalente todos los subconjuntos de los números naturales. Resulta, entonces, que cuando nos restringimos a los métodos de primer orden, los números naturales tienen extensiones no estándar, y que usarlos para definir números racionales y reales permite infinitos e infinitesimales.

Alan Bustany

No hay un conjunto absoluto de “declaraciones no demostrables”. La demostrabilidad es un concepto relativo . Una declaración o, más exactamente, una fórmula bien formada (WFF) es indecidible si ni ella ni su negación son demostrables dado un conjunto de axiomas y una lógica (o un conjunto de reglas para probar WFF a partir de los axiomas).

Es relativamente fácil crear una declaración indecidible: ¡simplemente elimine un axioma para cualquier teoría axiomática basada en un conjunto mínimo de axiomas! También hay ejemplos bien conocidos de axiomas que son independientes:

El axioma paralelo en geometría euclidiana;
El axioma de elección en la teoría de conjuntos ZF; y
La hipótesis del continuo relativa a la teoría de conjuntos ZFC.

Uno de los teoremas de incompletitud de Gödel dice que para cualquier sistema formal (suficientemente complejo):

Hay declaraciones indecidibles; o
El sistema es inconsistente.

Por lo tanto, no hay esperanza de encontrar finitos axiomas para que todas las declaraciones sean decidibles. Esto no hace que ninguna declaración particular sea indecidible independientemente de los axiomas y la lógica.

Intuitivamente, nos gustaría pensar que existe alguna “verdad” absoluta. Sospecho que la “verdad”, como la demostrabilidad, es relativa. Por lo tanto, en mi humilde opinión, incluso tratando de usar pruebas para extender alguna noción de “verdad” fallará …

Alan Bustany

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