Conocemos la definición del gradiente: una derivada para cada variable de una función. El símbolo de gradiente suele ser un delta invertido, y se llama “del” (esto tiene un poco de sentido: delta indica un cambio en una variable, y el gradiente es el cambio en todas las variables). Tomando nuestro grupo de 3 derivados anteriores
Observe cómo la componente x del gradiente es la derivada parcial con respecto a x (similar para y y z). Para una función de una variable, no hay ningún componente y, por lo que el gradiente se reduce a la derivada.
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Además, observe cómo el gradiente puede ser una función.
Si queremos encontrar la dirección para movernos para aumentar nuestra función más rápido, conectamos nuestras coordenadas actuales (como 3,4,5) en la ecuación y obtenemos:
Entonces, este nuevo vector (1, 8, 75) sería la dirección en la que nos moveríamos para aumentar el valor de nuestra función. En este caso, nuestro componente x no agrega mucho al valor de la función: la derivada parcial es siempre 1.
Las aplicaciones obvias del gradiente son encontrar el máximo / mínimo de funciones multivariables. Otra aplicación menos obvia pero relacionada es encontrar el máximo de una función restringida: una función cuyos valores x e y tienen que estar en un determinado dominio, es decir, encontrar el máximo de todos los puntos restringidos para descansar a lo largo de un círculo. Resolver esto requiere a mi hijo Lagrange, pero todo a su debido tiempo, todo a su debido tiempo: disfruta el gradiente por ahora.
La idea clave es reconocer el gradiente como la generalización de la derivada. El gradiente apunta a la dirección de mayor aumento; siguiendo el gradiente y alcanzarás el máximo local.
Preguntas
¿Por qué el gradiente es perpendicular a las líneas de igual potencial?
Las líneas de igual potencial (“equipotencial”) son los puntos con la misma energía (o valor para F (x, y, z)). En el caso más simple, un círculo representa todos los elementos a la misma distancia del centro.
El gradiente representa la dirección del mayor cambio. Si tuviera algún componente a lo largo de la línea de equipotencial, entonces esa energía se desperdiciaría (ya que se está acercando a un punto en la misma energía). Cuando el gradiente es perpendicular a los puntos equipotenciales, se mueve lo más lejos posible de ellos (este artículo explica por qué el gradiente es la dirección de mayor aumento: es la dirección que maximiza las compensaciones variables dentro de un círculo).
