¿Cuál es el número de todas las palabras de 4 letras (que no necesariamente tienen significado) que se pueden formar usando las letras de la palabra ‘BOOKLET’?

[matemáticas] \ {\ text {B} ^ 1, \ text {O} ^ 2, \ text {K} ^ 1, \ text {L} ^ 1, \ text {E} ^ 1, \ text {T} ^ 1 \} [/ matemáticas]

El método de generación de funciones exponenciales se puede utilizar aquí, la función de generación exponencial asociada con una letra en el conjunto múltiple con multiplicidad [matemática] n [/ matemática] viene dada por

[matemáticas] f_n (x) = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ dfrac {x ^ k} {k!} [/ math]

Luego tomamos el producto de las funciones generadoras y el coeficiente de [math] x ^ l / l! [/ Math] en la expansión es el número de palabras que podemos formar con las letras [math] l [/ math] del conjunto múltiple .

[matemáticas] f_ {n _ {\ text {B}}} (x) f_ {n _ {\ text {O}}} (x) f_ {n _ {\ text {K}}} (x) f_ {n _ {\ texto {L}}} (x) f_ {n _ {\ text {E}}} (x) f_ {n _ {\ text {T}}} (x) = \ left (1+ \ frac {1} {1 !} x \ right) \ left (1+ \ frac {1} {1!} x + \ frac {1} {2!} x ^ 2 \ right) \ left (1+ \ frac {1} {1!} x \ right) \ left (1+ \ frac {1} {1!} x \ right) \ left (1+ \ frac {1} {1!} x \ right) \ left (1+ \ frac {1} {1!} X \ right) = [/ math]

[matemáticas] \ left (1+ \ frac {1} {1!} x \ right) ^ 5 \ left (1+ \ frac {1} {1!} x + \ frac {1} {2!} x ^ 2 \ right) = \ frac {1} {2} \, x ^ {7} + \ frac {7} {2} \, x ^ {6} + 11 \, x ^ {5} + 20 \, x ^ {4} + \ frac {45} {2} \, x ^ {3} + \ frac {31} {2} \, x ^ {2} + 6 \, x + 1 [/ matemáticas]

La expansión puede llevarse a cabo utilizando salvia con la siguiente entrada.

x = var (‘x’)
show (expand ((1 + x) ^ 5 * (1 + x + x ^ 2 / factorial (2))))

Podemos ver que el coeficiente de [matemáticas] x ^ 4/4! [/ Matemáticas] viene dado por

[matemáticas] 4! \ cdot 20 = 480 \ qquad \ blacksquare [/ matemáticas]

Siéntase libre de calcular el número de 0,1,2,3,5, …, palabras de 7 letras que toman letras del conjunto múltiple utilizando los otros coeficientes de la expansión.

Al calcular el número de palabras de 4 letras manualmente, debería poder ver cómo funciona el método de función generadora: multiplicar las funciones agrega una contribución al término [math] x ^ 4/4! [/ Math] para cada combinación de 4 letras . El hecho de que los términos polinómicos tengan la forma [matemática] x ^ k / k! [/ Matemática] significa que cada contribución dividirá las permutaciones repetidas debido a una letra en particular y tomando el coeficiente de [matemática] x ^ l / l ! [/ math] en la expansión significa que cada coeficiente tiene un numerador [math] l! [/ math] contando así las permutaciones, no las combinaciones.

Hola, gracias por A2A.

Ahora la palabra FOLLETO, tiene 6 letras diferentes B, O, K, L, E, T y la letra O tiene 2 ocurrencias.

Su tarea es encontrar el número de palabras de 4 letras usando las letras anteriores.

Ahora divido el problema en 2 casos, donde primero encuentro el número de palabras de 4 letras que tienen 2 ‘O’ y luego encuentro el número de palabras de 4 letras con 1 ‘O’ o sin ‘O’.

Caso 1 :

En primer lugar, el número de formas de encontrar 2 lugares de 4 es 4C2 = 6.

En cada selección de 2 lugares, dado que completa dos letras idénticas ‘O’, por lo tanto, no es posible otra forma de disposición.

Ahora los 2 lugares restantes deben llenarse con B, K, L, E, T. Hay 5 letras y 2 lugares para llenar, por lo tanto, el primer lugar puede llenarse con 5 letras y el segundo lugar con 4 letras restantes, por lo que El número de formas es 5 * 4 = 20.

Por lo tanto, el número de palabras de 4 letras con 2 ‘O’s será 6 * 20 = 120.

Caso 2:

En este caso, puede usar 1 ‘O’ o no ‘O’, por lo que las letras son B, O, K, L, E, T que deben llenarse con 4 puntos y tenga en cuenta que solo estamos usando una ‘O ‘ aqui. Por lo tanto, el primer lugar puede usar 6 letras, el segundo lugar puede usar las 5 letras restantes, el tercero usará las 4 restantes y el cuarto lugar usará las 3 letras restantes.

Por lo tanto, el número de palabras de 4 letras que no tienen ‘O’s o 1’ O’S será 6 * 5 * 4 * 3 = 360.

Ahora, el número total de las palabras que figuran en la pregunta se obtiene sumando el resultado de ambos casos, que es 120 + 360 = 480.

Por lo tanto, la respuesta es 480.

Espero que haya ayudado.

Esta pregunta trata con diferentes combinaciones y por lo tanto, requeriría una comprensión sólida.

Se nos da una palabra “FOLLETO” que tiene 2 O’s .

Estamos obligados a formar una palabra de 4 letras. Esto se puede hacer de 2 maneras:

• Podemos seleccionar 4 alfabetos de todos los diferentes alfabetos disponibles (b, o, k, l, e, t)
• Podemos mantener ambas O y luego seleccionar los 2 alfabetos restantes de (b, k, l, e, t)

Ambas combinaciones se resuelven a continuación. ¡En la segunda combinación hemos dividido las Permutaciones por 2! Debido a la presencia de 2 O

Maneras totales = 480

Podemos resolverlo usando pricipal fundamental de conteo (fpc)

Número total de letras = 7

Número de letras a utilizar = 4

1) si no se permite la repetición

Luego requiere números de palabras son = 7 * 6 * 5 * 4 = 840

2) si la repetición lo permite

Entonces las palabras requeridas = 7 * 7 * 7 * 7 = 2401