¿Es posible que las matemáticas estén fundamentalmente equivocadas?

Hay dos formas en que las matemáticas pueden estar fundamentalmente equivocadas: podría probar tanto algo como su opuesto (y, por lo tanto, ser inconsistente), o podría no ser un reflejo exacto de lo que pensamos que es. Un ejemplo del primer tipo es que un día descubrimos que podemos demostrar que 1 + 1 = 1, aunque ya hemos demostrado que 1 + 1 = 2. Supongamos que me gusta contar las nubes en el cielo para el segundo. y diseñamos nuestra aritmética actual para reflejar cómo funcionan las nubes. Probé que 1 + 1 = 2 y luego, para mi horror, un día observé que 1 nube se unía con 1 podía y hacía … ¡solo 1 nube! Claramente, los números no significaban lo que yo pensaba.

Abordaré el segundo tipo de error primero. Resulta imposible demostrar que los números son correctos en este sentido. No hay una base rigurosa que podamos usar para comparar nuestros números formalizados con nuestras intuiciones para esos números, porque la formalización se hace específicamente como un remedio para que las intuiciones no sean lo suficientemente formales; si las intuiciones fueran formalmente viables por sí mismas, no lo haríamos. Necesito los formalismos en primer lugar. Podría darme cuenta un día de que comí una galleta, y luego otra, pero solo había comido 1 galleta en total, y esto demostraría que nuestros números no eran lo que pensábamos que eran. Más allá de eso, no hay mucho que podamos hacer en este frente, y muy pocas personas piensan seriamente en este tipo de cosas. (Está en el fondo de mi mente y a veces sale a la superficie, pero más allá de la búsqueda de contradicciones que seguramente serán infructuosas, no hay nada que pueda hacer, así que no me preocupo por eso).

El primer tipo de error parece ser algo que posiblemente podríamos abordar. Las grandes preguntas sobre las matemáticas (usaré ZF, ya que es el estándar moderno) son si puede probar todas las cosas verdaderas (integridad) y si solo prueba cosas verdaderas (consistencia). Hubo un período de algunas décadas, que comenzó a fines de 1800 y continuó hasta la década de 1930, cuando se hizo un gran esfuerzo para abordar estas dos preguntas. La consistencia es la más importante, ya que su sistema no tiene valor si prueba algo falso (ver: Principio de explosión). La integridad también es buena, pero en general no tanto.

Lo mejor de todos los mundos sería si ZF fuera completo, consistente y ambos pudieran probarse fácilmente. Kurt Gödel publicó una prueba en 1931 de que ninguna formalización de las matemáticas podía ser completa y consistente al mismo tiempo. Para ilustrar esto, aquí hay una analogía debido a Douglas Hofstadter (autor de Gödel, Escher, Bach ) : ¿es posible tener un tocadiscos que pueda reproducir cualquier disco concebible? Digamos que tienes ese tocadiscos. Afirmo que hay una cierta secuencia de frecuencias de sonido que hará que su reproductor vibre fuera de control y se rompa, y simplemente necesito poner estos sonidos en un registro y dárselos a su reproductor. O los jugará y se separará (no es lo que queríamos), o no los jugará en absoluto (y no fue tan poderoso como dijimos que era).

(El bosquejo formal del teorema funciona en líneas similares. Cualquier sistema matemático suficientemente potente [ZF es uno] en realidad puede proporcionar un lenguaje para describir pruebas en ese sistema, y ​​es posible crear una declaración que diga “No tengo pruebas dentro de ZF “, incluso sin autorreferencia directa. Si esta afirmación es verdadera, entonces ZF no debe estar completa, ya que no puede probarlo. Si es falsa, entonces ZF es inconsistente, ya que lo prueba.)

Muy bien, entonces Gödel no nos permitirá tener integridad y consistencia. Dado que la integridad no tiene valor por sí sola, ¿podemos al menos demostrar que ZF es consistente? Gödel dice “no”, otra vez. No quisiéramos demostrar que ZF sea consistente en ningún sistema más fuerte que ZF en sí mismo, ya que también tendríamos que demostrar que el sistema es consistente, y estaríamos peor que cuando comenzamos. Pero, ¿qué pasaría si pudiéramos demostrar que ZF es consistente de acuerdo con alguna teoría más débil (llámelo ZF ‘ ), y luego demostrar que la teoría es consistente en algo aún más débil (llámese ZF’ ‘ ), y así sucesivamente, hasta que llegamos a algo eso era básicamente imposible de dudar? Esto no funciona El segundo teorema de incompletitud de Gödel es que solo las teorías inconsistentes pueden probarse como consistentes, y como consecuencia esta secuencia de teorías ZF, ZF ‘, ZF’ ‘… debe volverse más fuerte , no más débil, en el sentido de que cada teoría solo puede ser probada consistente con las teorías que vienen después en la lista, y no con las que vienen antes.

En resumen, no podemos probar que las matemáticas que tenemos en este momento sean correctas de alguna manera significativa, pero hay muy pocas personas que dudan de que sea así. Si las matemáticas estuvieran mal, probablemente ya las habríamos encontrado, manifestadas como algún tipo de falso teorema, o de lo contrario, algo demostrablemente verdadero contradice algo visiblemente cierto en nuestro mundo. Estoy tan seguro de la corrección de las matemáticas como de cualquier cosa, no del todo seguro, pero muy cercano. Si me despertara y descubriera que las matemáticas eran inconsistentes, me preocuparía mucho más que hubiera alguien hurgando en mi cerebro e influenciando mis pensamientos que las matemáticas en sí mismas. Finalmente, tenga en cuenta que estos resultados son acerca de si podemos saber que las matemáticas son correctas, no si lo son o no.

Recomiendo a Gödel, Escher, Bach para una muy buena lectura sobre este tema (y otros).

La matemática, como la ciencia, es una etiqueta que aplicamos a una colección de operaciones útiles que tienen una utilidad sustancial. Es sorprendente, no milagroso, que tengamos una caja de herramientas con una sorprendente variedad de usos. Es una poderosa herramienta de predicción y modelado. Está entretejido en el universo de manera elegante y gloriosa. Una y otra vez, hemos visto La efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales.

Si surge un paradigma superior, la corpa que llamamos matemáticas asimilará ese paradigma, y ​​todavía lo llamaremos “matemáticas”.

Mientras tanto, la asombrosa variedad de actividades posibles a través del uso de las matemáticas es testigo de cualquier posible “error” que los filósofos postulan.

Preguntar si las matemáticas son fundamentalmente erróneas es fundamentalmente una cuestión filosófica . Esta pregunta vive en la misma nube de bestias filosóficas inflexibles como la pregunta “¿es su percepción del color que llamamos rojo lo mismo que mi percepción de él?”

La matemática, en esencia, es una exploración de representaciones mentales . Esta exploración, sin embargo, se realiza en dos etapas distintas entrelazadas: intuición y formalismo. La fachada de las matemáticas como se ve en muchos textos da la ilusión de que las matemáticas son solo la producción de deducciones lógicas cada vez más complejas pero estructuradas. Esta es simplemente la parte del formalismo. La intuición está muy poco representada en la documentación porque es la parte de las matemáticas que es imposible traducir a un medio de comunicación.

En un texto sobre teoría de conjuntos, ¿hay un discurso sobre por qué los axiomas utilizados en el libro son la mejor axiomatización y cómo, en detalle, se produjeron uno por uno? Esta es la intuición faltante. Sin embargo, esta es la parte más importante de las matemáticas. La intuición inspiradora pero intangible alimenta la creación de la teoría formal y la teoría formal se extiende naturalmente por diseño para ayudar a la intuición a explorar profundidades de representaciones mentales previamente inaccesibles, y la repetición de este proceso es la creación de nuevas matemáticas . Por ejemplo, la experiencia de la vida real le da a nuestra intuición el concepto de contar el número de cosas particulares, que formalizamos con axiomas para crear los números naturales.

Sin embargo, el formalismo se basa en nuestros principios lógicos fundamentalmente intuitivos. No se puede explicar ni probar por qué creemos que cierto axioma tiene sentido o que una regla de deducción lógica se justifica utilizando algún sistema metamatemático. De hecho, incluso la noción de estar en lo correcto o incorrecto proviene de la misma intuición que construye la formalidad de las matemáticas, por lo que decir que nuestra comprensión intuitiva de la lógica, y por lo tanto también de las matemáticas, es incorrecta sería invalidar la pregunta que esta afirmación busca responder.

Incluso suponiendo que podamos salirse con la falacia filosófica detrás de afirmar que nuestra comprensión de la lógica es incorrecta como respuesta a esta pregunta, nuestra intuición que da lugar a nuevas ideas en matemáticas no se invalida. Al rechazar nuestro sistema de lógica, la cuestión de si las matemáticas están mal no tiene sentido porque las matemáticas simplemente se convertirían en una expresión libre de la mente .

Entonces, tengo una respuesta que es un poco diferente a la de los demás, por lo que puede darte una perspectiva ligeramente diferente.

Cuando estudiaba matemáticas en la universidad (en ese momento Waterloo tenía el requisito ridículo de que las especializaciones de Comp Sci debían estar en Matemáticas con Honores), una de las cosas que más me gustó fue el descubrimiento de que las matemáticas eran mutables y extensibles. Puede tomar cosas que “sabe”, como agregar, y puede aplicar ese conocimiento a conjuntos en constante expansión.

Ahora, aprendiste esto tú mismo, en la escuela primaria. Primero, aprendiste a contar. Y luego aprendiste a sumar. Y luego aprendiste resta, y división. Y luego (esta es la parte genial) lo aprendiste de nuevo para las fracciones. Y para números reales. Y porcentajes.

No es que haya invalidado toda la idea de que 1 + 1 = 2, simplemente se dio cuenta de que también podía calcular (1/2) + (1/2) + (1/2) + (1/2) y también obtener 2 ! El mismo pequeño operador “+”, pero haciendo algo diferente.

Ahora, quiero volver a la pregunta original:

“¿Qué pasaría si 1 + 1 no fuera realmente 2?”

Bueno, ahora las cosas empiezan a ponerse interesantes. No solo no sería “imposible”, sino que también es increíblemente interesante. Veamos que podemos hacer …

Primero, imaginemos una matemática donde la suma funciona así:

1 + 0 = 1
0 + 1 = 1

Hasta ahora, totalmente normal. Ahora mira esto:

1 + 1 = 0

“Whoa … ¿qué?” Te escucho decir. “Eso se ve un poco raro”.

Es un poco raro, pero tengan paciencia conmigo. Tenemos algunos más:

1-0 = 1
1-1 = 0
0-1 = 1
0-0 = 0

1 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 1 = 1

1/1 = 0
0/1 = 0
1/0 = indefinido
0/1 = 0

Ahora, tienes que seguir aquí, porque aquí es donde las cosas se ponen divertidas. Lo creas o no, ¡tenemos un sistema matemático aquí que funciona perfectamente bien ! Sí, es un poco extraño, por ejemplo 1 + 1 + 1 = 1, y 1 + 1 + 1 + 1 = 0, pero en realidad, podría pasar a formar todo tipo de ecuaciones matemáticas, y todas funcionarían solo multa.
A + B + C = A + C + B
A + 0 = A
A – A = 0
A * (B + C) = (A * B) + (A * C)

Excepto que se realizan en un universo donde 1 + 1 = 0.

De acuerdo, esto podría dejarte un poco más que satisfecho. Especialmente desde hace un minuto, prometí que esto sería “increíblemente interesante”, pero a menos que seas un geek de las matemáticas, realmente no he cumplido.

Entonces, ahora un poco más de fondo. Hace cien años, cuando los matemáticos comenzaron a jugar con esta idea, es decir, las operaciones que se podían realizar en el conjunto que consistía en {“1” y “0”}, esto era un retraso interesante de la teoría de conjuntos, más o menos ignorado por los matemáticos “reales”.

Hasta hace unos 60 años, cuando aparecieron las primeras computadoras rudimentarias. Y la gente descubrió que era muy, muy difícil almacenar voltajes como “5” o “37”, pero realmente fácil almacenar voltajes como “encendido” y “apagado”. Y de repente, las operaciones en el conjunto de {“1” y “0”} se volvieron muy, muy importantes. Especialmente si cambiamos nuestra pequeña definición de suma de una pequeña manera:

¿Qué tal cuando sumamos 1 + 1, todavía obtenemos 0, pero llevamos un 1 al siguiente dígito? Entonces obtenemos algo como esto:

1 + 1 = 10

Y, de repente, esta oscura parte de las matemáticas, que hasta ahora solo se consideraba útil en un universo inventado, de repente se convierte en la base de toda la información representada digitalmente, ¡incluida la misma imagen que está viendo en este momento! Con esa pequeña extensión, de repente podemos construir una máquina para hacer lo que anteriormente requería un humano:

Y eso, mis amigos, es la razón por la cual las matemáticas son útiles: porque nos permite construir y modelar universos, incluso cuando la existencia de esos universos es incognoscible . Y si nos encontramos con un ser superior, puedes apostar tu último dólar a que ella también habrá desarrollado un sistema para construir y modelar universos.

Necesitas mucho leer Playing with Infinity: Mathematical Explorations and Excursions de Rozsa Peter. En ella dice claramente (lo siento, no tengo la traducción al inglés en sí, solo el original húngaro, por lo que la cita será inexacta): dos matemáticos se encuentran y dicen: me imagino puntos y líneas rectas así. No sé qué piensas de ellos, pero si los imaginas de la misma manera que acabo de esbozar, entonces podemos tener una conversación interesante.

No hay ser superior. Las matemáticas no son absolutas. Hay un conjunto de presunciones que los matemáticos (o en realidad algunos o la mayoría, pero casi nunca todos ) aceptan llamados axiomas , hay pasos que puede tomar (nuevamente acordado primero) para derivar nuevos teoremas de estos y … eso es todo.

Por ejemplo, aunque no puedo recordar que alguien quiera discutir un sistema donde el conjunto de axiomas ZF (ver las otras respuestas) no está acordado, hay personas que estudian eso y no la ZFC más sólida: teoría de conjuntos constructivos.

Sí, es posible.

Lo interesante es que las Matemáticas nunca han afirmado ser fundamentalmente correctas . Todos los teoremas y fórmulas se derivan de supuestos conocidos como axiomas ( http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom ). Estas suposiciones pueden o no ser precisas en el mundo real.

Por ejemplo, al formular las reglas de Geometría, Euclides hizo la siguiente suposición:

Si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores en el mismo lado sean menos de dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que están los ángulos menos que los dos ángulos rectos

Se ha demostrado que esta suposición es falsa en muchos problemas del mundo real. Esto dio lugar a la rama de la geometría conocida como geometría no euclidiana.

Las matemáticas son solo una herramienta para analizar y comprender problemas del mundo real. No es una descripción precisa de los fenómenos en sí.

Lo que pasa con las matemáticas es que muchas de ellas no se crean por descubrimiento , sino por diseño . 2 se define como el número que 1 + 1 es igual. No hay forma de que no sea 2, porque el nombre ‘dos’, el símbolo ‘2’, sí, esa curva con un subrayado, es un marcador de posición para el valor que 1 + 1 es igual.

Entonces, si las matemáticas son principalmente cosas inventadas, ¿tiene algo que ver con el mundo natural ? Claro que si. Todos hemos visto evidencia replicable de esto.

¿Pero es definitivamente ‘ correcto ‘? Como la mayoría de los inventos, esa no es la pregunta que debe hacerse. ¿Es un televisor “correcto”? ¿La rueda está bien? No tiene mucho sentido hacer esas preguntas. La pregunta que importa es esta: ¿es útil ? Y la respuesta a eso es un inequívoco sí.

EDITAR: La última declaración no implica que todas las matemáticas sean útiles para todos los propósitos. Por eso hay diferentes tipos de matemáticas. Si crees que un tipo particular no es el más útil en un escenario particular, ¡descarta esas matemáticas! ¡Simplemente ignóralo! Usa un tipo diferente de matemáticas. O incluso inventa tus propias matemáticas. La única razón por la que existió es porque cumplió un propósito en un contexto específico. Esto puede o no ser generalizable.

Si estás estudiando algo es en la escuela o la universidad, eso se debe a que las matemáticas han resultado empíricamente útiles en una gran variedad de escenarios. ¿Podría haber escenarios donde no es aplicable? Seguro. De hecho hay! Pero eso no lo hace “incorrecto”, simplemente no es tan útil en ese escenario particular.

Si.

Para comprender cómo funciona la matemática, en realidad es solo un conjunto de supuestos, y una cuestión de qué podemos derivar de esos supuestos. Por ejemplo, si suponemos

1. Todos los hombres tienen narices grandes
2. Sócrates es un hombre.

entonces podemos concluir (3): Sócrates tiene una nariz grande.

La mayoría de las matemáticas modernas se basa en un conjunto de supuestos conocidos como teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel [1]. Lo complicado es que en realidad no es posible demostrar que diferentes supuestos no se contradicen entre sí. Es muy poco probable: si hubiera una contradicción, lo más probable es que alguien ya lo hubiera probado. Pero es técnicamente posible que todo Math se base en un conjunto de reglas contradictorias.

[1]: teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

Ha habido desacuerdos sobre cómo deben realizarse las matemáticas, por ejemplo, qué constituye una prueba válida. Es posible que desee echar un vistazo al intuicionismo, que es una de las salidas anteriores.

El intuicionismo en la filosofía de la matemática

La matemática no necesita ser fundamentalmente incorrecta o correcta, ya que proviene de nuestros órganos sensoriales y, por lo tanto, es fundamental en la vida misma. Buscamos fundamentalmente lo correcto o lo incorrecto en los conceptos que creamos nosotros mismos. En el caso de las matemáticas, no creamos ningún concepto; Acabamos de dar nombres a los conceptos que fueron creados por la naturaleza.

Esta es una respuesta bastante larga, en la que he tratado de probar cómo cada rama de las matemáticas no necesita ser fundamentalmente correcta o incorrecta, pero es que, para que todos la vean.

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Aritmética Toma un pollo Pon otro pollo similar con él. El nuevo número de pollos se define como “dos pollos”. Agrega otro. El nuevo número total de pollos se define como “tres pollos”. Simbólicamente, 1 + 1 = 2 y 2 + 1 = 3. En ninguna parte el alcance de estar fundamentalmente equivocado. Esto está contando, y pongo poder contar como el “sexto sentido” que tenemos al igual que la capacidad de ver, oír, oler y tocar. Lo que vemos como un árbol se define un árbol; el número de árboles que podemos ver se define como uno, dos, etc. Lo que estoy diciendo es que la aritmética es físicamente verificable , por lo tanto, no necesita ser correcta o incorrecta . Por ejemplo, cuando vemos algo, vemos algo, no tiene que ser brillante u oscuro, rojo o azul, etc. La resta funciona igual que la suma. La multiplicación y la división se definen como sumas y restas repetidas, y dado que se derivan de operaciones físicamente verificables en virtud de la definición , por lo tanto, no son suposiciones ni son erróneas . Ellos simplemente lo son.

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Aritmética superior (por ejemplo, fracciones y decimales) : fracciones como recuento extendido: si le dan una manzana y media de otra manzana, puede verificar físicamente usando sus órganos sensoriales, que hay dos manzanas, en lugar de “dos entidades físicamente observables” . Ahora, al igual que sus ojos pueden ver, pero también pueden calcular las longitudes de onda de la luz (es decir, el color de lo que ven), nuestro sentido de contar también puede, además de ver que hay dos piezas, descubrir que la segunda pieza no es tan grande como la primera, y por lo tanto no debería calificar como una manzana. Del mismo modo, si toma un rectángulo y lo divide en seis cajas más pequeñas, y luego pinta dos de las cajas más pequeñas de color azul, definimos el tamaño de la porción azul como dos sextos del rectángulo más grande. ¡Un “sexto” definido como una de las seis porciones iguales es lo mismo que definir un “árbol” como un árbol! ¡Qué está bien o qué está mal! Por lo tanto, las fracciones también son físicamente verificables y, por lo tanto, en ningún lugar son fundamentalmente correctas o incorrectas. Ellos simplemente son.

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De aquí en adelante, las siguientes no son aplicaciones de la aritmética: son juegos de roles de los números definidos por la aritmética, para diferentes propósitos, como medir.

Geometría: al igual que podemos verificar los números en la naturaleza, también podemos ver formas geométricas. La capacidad de comparar tamaños es tan fundamental como la capacidad de contar y la capacidad de escuchar. (¿No puedes decir qué hombre es más alto cuando uno está al lado de otro, o qué ángulo es más grande que otro? ¿Necesitas una prueba para eso?) Ahora, debido a la capacidad de comparar tamaños, surge la necesidad de medir exactamente, y por lo tanto La geometría se presenta como un producto lógico de mediciones físicamente verificables. Sin embargo, aquí viene nuestra primera suposición: el uso de números para mediciones, los mismos números utilizados para contar, carece de fundamento . Es solo una coincidencia que usemos los mismos números de conteo para las mediciones. La geometría, por lo tanto, da una nueva identidad a los números de conteo que en realidad eran verificables físicamente. Al igual que asignamos el nombre “Barack” a Barack, asignamos la medida “dos pies” a lo que mide dos pies. La geometría es un parásito que usa el lenguaje enseñado por la aritmética y, por lo tanto, agrega significado a los números de conteo. Las ecuaciones similares son un parásito que usa el alfabeto enseñado por el inglés para representar variables. Nuevamente, la geometría simplemente usa esos números en préstamo de la aritmética para que pueda comparar tamaños. La idea sigue siendo la medida de grande y pequeño, que es físicamente verificable. Al convertir líneas en líneas numéricas, estamos haciendo de la aritmética el esclavo de la geometría. Pero como la geometría es verificable y fundamental, volvemos a bajar a “ni correcto ni incorrecto”; La geometría justa, es y, para expresarse, utiliza el lenguaje de los números.

Tenga en cuenta que la geometría también podría haber existido si hubiéramos usado el alfabeto en lugar del sistema de números. Elegimos el sistema de números por conveniencia, porque ya sabemos cómo sumarlos y restarlos, y descubrimos que esas operaciones también funcionan en geometría.

Decimales irracionales : definimos raíces cuadradas e imaginamos un número llamado raíz cuadrada de 2. ¿Era físicamente verificable? Usamos geometría y descubrimos que sí. La geometría dio una idea de que los números se ejecutan continuamente en una línea numérica en lugar de números discretos que podemos elegir al azar. Hay una diferencia entre “números de conteo” y “números enteros” o “números reales”: el número de conteo “1” es un individuo de aritmética; el entero “1” es un esclavo de la geometría que trabaja en la recta numérica.

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Continúe con todas las demás ramas de las matemáticas, y encontrará que cada una (1) es fundamental en sí misma (como la aritmética) o (2) es fundamental en sí misma, pero usa otra como su lenguaje, y lo hace al redefinir los caracteres de ese “otro” para su propio propósito (como la geometría utiliza el sistema de conteo más fundamental para comparar tamaños redefiniendo los números de conteo como puntos en la recta numérica) y, por lo tanto, no se necesita una prueba,

(2) o, se define en términos de otro en virtud de la definición (como el cálculo se puede definir en términos de geometría) y, por lo tanto, no es necesario probar si ese “otro” era fundamental o probado.

Todo, incluida la ciencia de cohetes, funciona según el mismo principio que 1 + 1 = 2, aunque sea falso debido a la complejidad de http://universe.it , está funcionando. Entonces, no hay matemáticas, no ciencia.

No importa qué aspecto esté mirando, eventualmente los argumentos se reducirán a: Sí, es posible pero no es práctico.

Algunas personas dicen que Math no puede estar equivocado, lo que realmente dicen es que Math es internamente consistente y prácticamente correcto.

Algunas personas dicen que las matemáticas pueden estar equivocadas; lo que dicen es que si extiendes la lógica solo por el argumento, Math puede estar equivocado, pero es SOLO por el argumento, no hay otro uso para decir que Math puede estar equivocado.

Las matemáticas son un conjunto loco de imaginaciones que se han vuelto locas, en una progresión lógica. También consta de 2 cosas, un conjunto de definiciones y un conjunto de pruebas genéricas que facilitan la aritmética real. SI no está de acuerdo con el conjunto de definiciones, entonces POR DEFINICIÓN las pruebas fallarán. Si no está de acuerdo con que hay un conjunto natural de números, especialmente un conjunto que ordena 1, 2, 3, … entonces mala suerte probando cualquier cosa.

¿Cómo puede alguien probarme que existen números naturales y están numerados exactamente de esa manera? No puedes! ¿Alguien ha visto un número 1 o 2 en la vida real? ¡Demuéstrame que existo! Esta sería la prueba exacta de que Dios existe, porque si 1/0 no puede ser definido o entendido, las etiquetas matemáticas son “indefinidas” y los teístas dicen que “Dios trabaja de maneras misteriosas”. No te creo Entonces, si 1 no existe, ¿cómo se pueden agregar dos cosas inexistentes, físicamente en el mundo real?

¿Pero cuál es el punto de discutir sobre esto? Mientras compre la definición de conjunto en Matemáticas, el resto de Matemáticas es internamente consistente con esas definiciones, ya que además funciona no solo para 1 + 1, sino para todos los números naturales / reales / imaginarios en la forma en que se definen. Una vez que sepa que es consistente, puede usarlo para modelar reacciones químicas, física en el universo conocido, biología, etc. Esto se convierte en un apalancamiento que nos salva de la cantidad casi infinita de pruebas y errores que tendremos que pasar de lo contrario para entender el universo

Imagine solo la trayectoria de aterrizar un transbordador en la luna sin el modelado matemático. ¿Cuántos monos morirían hasta que tengamos todo lo correcto para ese aterrizaje?

Hay muchas buenas respuestas aquí. La realidad fundamental es que no hay solo una matemática, sino muchas. Algunos son muy populares … la mayoría de nosotros estamos acostumbrados a operaciones de calculadora de cuatro funciones en enteros y flotantes (representaciones imperfectas de números reales) … están en calculadoras porque trabajan para ese trabajo.

También hay una rama de las matemáticas llamada aritmética modular, en la que 1 + algún número generalmente muy grande, como miles de dígitos, es igual a cero. También puedes hacer sub-secciones modulares, multiplicaciones, divisiones, exponentes y raíces. Y, de hecho, por extraño que parezca (y todavía es más extraño trabajar con él), también es útil como base de algunos tipos de criptografía.

En realidad, es difícil definir qué significa “incorrecto” para las matemáticas.

Como si dijéramos “La tierra es plana”, aquí la distinción entre correcto e incorrecto es clara porque estamos describiendo algo.
Pero en matemáticas es más una abstracción, solo existe en las ideas.

Por ejemplo, para tomar el ejemplo indicado, podría suponer 1 + 1 = P (P ni siquiera necesita ser un número) y basar un sistema matemático completo basado en esto. Ahora, esto puede ser contra intuitivo (y para la mayoría de las partes inútil) pero no lo hace menos “correcto” o “incorrecto” que el sistema actual que seguimos.

Lo peor que puede suceder es que el ser superior pueda venir y afirmar que el sistema matemático que está utilizando para describir su universo no lo describe con precisión y que tendríamos que cambiar nuestras suposiciones para desarrollar una nueva teoría más adecuada.

Además, en caso de que se descubran contradicciones en ZF (C), el sistema se describirá mejor como ‘defectuoso’ y llamarlo ‘incorrecto’ sería incorrecto.

** Descargo de responsabilidad: no estoy tan seguro de lo que el OP significa mi “error”. Entonces, a lo largo de esta publicación, supongo que “incorrecto” significa algo así como “falso”.

Creo que esta pregunta muestra un malentendido fundamental de lo que hace Math (no lo que las matemáticas son (un conjunto de axiomas (p. Ej., ZFC) y teoremas (p. Ej., Pitagórico), sino lo que hace Math (modela varias situaciones (es decir, mundos)). Las matemáticas no son algo que necesite demostrarse … Las matemáticas son lo que usamos para probar. Las matemáticas son un conjunto de reglas que utilizamos para decidir el valor de verdad de otras afirmaciones (por ejemplo, “Me debes $ 5. ¿Cómo lo sé? Porque te di $ 10 y me devolviste $ 5).

Las reglas en sí mismas no tienen valores de verdad … y, por lo tanto, no pueden ser “correctas” o “incorrectas” en ese sentido … sino solo “más” o “menos” útiles según nuestro propósito. Decir lo contrario solo te lleva a una regresión infinita. Eventualmente, debes golpear la roca madre.

Quizás es este malentendido lo que lleva a la confusión demostrada en el ejemplo del OP. Es imposible descubrir el “Hey, ya sabes, en realidad 1 + 1 = 11. ¡Ve a la figura!” ¿Por qué es esto imposible? Bueno, ¿qué reglas usarías para decidir esto? En el mejor de los casos, estaría inventando nuevas reglas (que podrían ser mejores reglas, pero son solo reglas, las mismas en espíritu que las que tenemos ahora).

Esto sería como despertarse una mañana y decir “Hey, ya sabes, resulta que estábamos ‘equivocados’ sobre lo que es un” gato “. Resulta que REALMENTE los” gatos “son los que ladran y menean la cola. ¡figura!” Simplemente estás encadenando las reglas de cuándo usar la palabra “gato”. Realmente no estás diciendo nada sobre los gatos (es decir, lo que maúlla y silba).

Sería lo mismo en matemáticas. Decir que “Hey, quizás 1 + 1 = 11” está confundiendo las palabras que usamos “uno más uno es igual a once” con los objetos abstractos y la operación que representan las palabras. Si lo llamamos “2”, “11” o incluso “gato” no hace ninguna diferencia (incluso he oído que hay idiomas que NO usan las palabras “uno”, “dos”, etc., pero usan cosas como ” Uno “” Dos “” Tres “… Claramente esta es una versión diferente de Math). Si comienza en la “primera posición” en la línea numérica, realice la operación “+” y proporcione “posición única” como el otro argumento, siempre terminará en la “posición única” lejos de la “posición única”. Una vez más, si llama a la nueva ubicación “2” o “11” o “dos” o “gato” no hay diferencia.

Otra forma de mostrar cuán equivocada es esta pregunta sería preguntar “¿Cuáles son las consecuencias de estar” equivocado “acerca de las matemáticas?” Si los matemáticos dijeron “Hey, ya sabes, resulta que REALMENTE 15 billones vienen ANTES de 100. ¡Entonces, Estados Unidos no está realmente en deuda!” ¿Esperarías que todas tus calificaciones de matemáticas cambien? ¿Dejarían de funcionar los dispositivos electrónicos y de ingeniería? ¿Vas a despojar a todos esos doctorados de matemáticas de sus títulos? ¿Vas a detener toda investigación científica que use matemáticas? ¿Texas Instruments recordará todas sus calculadoras?

Una pregunta equivalente es “¿Cómo podría saber que Math estaba” equivocado “? Es decir, ¿qué podría permitirle decidir que 1 + 1 no es igual a 2? ¿Qué criterios usaría … y qué hace que esos criterios sean más” sólidos? ? ”

La matemática es una herramienta. Es un conjunto elaborado de reglas que los humanos han encontrado útiles a lo largo de los siglos. A veces, algunas de esas reglas se contradicen (en cuyo caso elegimos una para mantener o limitar el alcance de las reglas). Lo que hace que las matemáticas sean interesantes es que las reglas a menudo tienen interacciones interesantes entre sí. Eso es lo que hacen los matemáticos … juegan el juego de las matemáticas por sí mismo para descubrir interacciones ocultas.

En cualquier caso, Math es incapaz de ser “correcto” o “incorrecto”. (Del mismo modo que la Constitución de los Estados Unidos no puede ser “correcta” o “incorrecta”). Quizás haya un sistema más útil, pero encontrar uno sería algo así como “Durante años hemos conducido autos a gasolina … resulta que los autos eléctricos son mejores en general, así que ahora manejamos autos eléctricos”. ¿Esto de alguna manera invalida los autos de combustión? ¿Los automóviles de combustión ahora están “equivocados” en algún sentido?

El interlocutor claramente no entiende de qué se trata la matemática. La única cura para esto es aprender algo de matemática y comprender de qué se trata, antes de esperar sobre sus supuestos defectos.

Las matemáticas, al menos las matemáticas puras, se ocupan de abstracciones idealizadas, conceptos puros, que existen solo en las mentes humanas (o, si uno lo cree, en algún universo matemático platónico abstracto de pensamiento puro), un reino eterno y perfecto de verdad absoluta y belleza, completamente separada de la realidad física).

¡Pero afirmar que esto hace que las matemáticas sean ‘imposibles’ y una ‘invención humana tonta’, es decir, falsa e irrelevante, es cometer el error intelectual más atroz imaginable!

El simple hecho de que el interrogador haya podido escribir su pregunta en una computadora y emplear el poder de Internet para publicar su pregunta a Quora, es una amplia prueba de que las matemáticas son verdaderas y extremadamente relevantes y útiles. Debido a que estas tecnologías dependen en última instancia de las matemáticas y la física abstractas (y la física en sí misma se basa en las matemáticas abstractas), gran parte de ella se desarrolló hace cientos de años por personas ( genios , de hecho) a quienes el interrogador probablemente descartaría como charlatanes intelectuales y derrochadores que dedicaron su vive una búsqueda intelectual supuestamente inútil y fraudulenta.

Presiona esos botones, haz clic en ese mouse, ¡mira tus palabras transmitidas al mundo! ¿Cómo puedes afirmar que 1 + 1 no es igual a 2? ¿O que la raíz cuadrada de -1 no tiene sentido? ¿O que las matemáticas son una invención humana falsa e inútil?

La respuesta simple es: ¡no puedes!

Así que deja de ser tan ignorante e ingrato. ¡Y aprende algunas matemáticas!

Para todos los que están leyendo esto y no están interesados ​​en leer una tesis sobre si las matemáticas son fundamentalmente incorrectas, no realmente, no.

Para su vida diaria, las matemáticas tienen toda la razón.

En mi humilde opinión, depende de lo que define como “fundamental”.

¿Son los axiomas “fundamentales”? Porque para mí es como decir, primero crees en un Dios, luego te mostraremos que puede explicar muchas cosas. Personalmente, no veo nada malo en esto, pero ¿hace que las matemáticas sean más o menos fundamentales que, digamos, la creencia en un Poder Superior y los teoremas y corolarios de los que podría traer consigo?

Entonces, sí, siento que si se examina con un microscopio, podría ser reemplazado por otra cosa, pero tal vez no fácilmente.

Creo que lo más impertinente que han hecho las matemáticas (y la ciencia en general) es la clasificación ciega. Es como pretender mirar solo las asíntotas terminales de una función sigmoidea.

Hasta este punto, estoy bien, porque estoy de acuerdo en que necesitamos hacer esto para hacer “algo útil”. Pero cuando los beneficios de su aplicabilidad en un dominio particular se extrapolan arbitrariamente … 😮

Una de las preguntas “fundamentales” que las matemáticas (y la ciencia) no aborda (o finge que no existe) es la Conciencia. ¡Porque eso realmente romperá “el sistema”! 🙂

Realmente hará que los científicos y los matemáticos se crucen, porque sus obsesiones individuales y las (indudablemente) grandes contribuciones materiales que podrían haber hecho al mundo de repente parecerán insignificantes.

En mi definición, las matemáticas no pueden considerarse fundamentales. Lo que es realmente “fundamental” en la creación es esta Conciencia, no solo la de nuestros cuerpos / mentes individuales sino también del universo en general y el de los conjuntos infinitos que se pueden formar entre estos extremos.

Su Conciencia individual puede llevarlo a estar en desacuerdo con mis puntos de vista personales, y tan pronto como lo haga, se dará cuenta de que tal vez haya algo de verdad en lo que he dicho.

¡Salud!

1 + 1 = 2 porque lo definimos así. Definimos 2 como la suma de 1 y 1. (Bueno, no exactamente, pero básicamente).

Sin embargo, como humanos, sabemos que no podemos demostrar que las matemáticas sean consistentes. Puede desmoronarse. Pero en última instancia, las matemáticas son solo un modelo. Definimos las operaciones y los operandos, y hasta ahora funciona bastante bien. Lo reemplazaríamos con gusto, si algo mejor apareciera