Dos métricas son equivalentes si y solo si sus respectivas topologías son equivalentes. Dos topologías son equivalentes si y solo si comparten los mismos conjuntos abiertos exactos (o conjuntos cerrados … o vecindarios abiertos).
Las métricas no tienen que ser idénticas en todos los pares de puntos.
La definición de “equivalencia de función” se cumple para “equivalencia métrica”. Obviamente no es válido para … Matemáticas en general.
- Si [matemáticas] \: a \: = \: \ sqrt [3] {81} +2 \ sqrt [3] {9} +4 [/ matemáticas] y [matemáticas] b \: = \: \ izquierda (2 \: + \: \ frac {1} {a} \ right) ^ 3 [/ math], ¿cuál es el valor de b?
- El conjunto A contiene 2 elementos y el conjunto B contiene 20 elementos. ¿Cuál es la probabilidad de que una función dada sea one-one?
- ¿Es posible expandir binomialmente cualquier expresión con un exponente complejo (que tenga una parte imaginaria distinta de cero)? ¿Por qué o por qué no?
- ¿Qué tan difícil es especializarse en matemáticas?
- ¿Qué propiedad de suma es a + 0 = a?
Es mejor comprender la razón subyacente por la que esa definición de equivalencia funciona para las métricas, investigando cómo esa definición afecta a los conjuntos abiertos.
Para las dos métricas que proporcionó:
[matemáticas] d ^ p (x, y) = 2p (x, y) −p (x, x) −p (y, y) [/ matemáticas]
[matemáticas] = p (x, y) −p (x, x) + p (x, y) −p (y, y) [/ matemáticas]
[matemáticas] <2max [p (x, y) -p (x, x), p (x, y) -p (y, y)] [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2d ^ w (x, y) [/ matemáticas]
[matemática] d ^ w (x, y) = máx [p (x, y) -p (x, x), p (x, y) -p (y, y)] [/ matemática]
[matemáticas] <p (x, y) -p (x, x) + p (x, y) -p (y, y) [/ matemáticas]
[matemáticas] = d ^ p (x, y) [/ matemáticas]
Cómo podemos pensar en esto es que para un conjunto abierto U de acuerdo con la métrica d ^ p, todos los puntos x tienen una bola abierta de cierto radio r que cabe dentro de U, bueno ya que d ^ p es un límite superior en d ^ w , eso significa que una bola abierta del mismo radio, r, debajo de d ^ w encaja dentro de la bola d ^ p, por lo que U también está abierta de acuerdo con d ^ w.
Del mismo modo, para la otra dirección, cualquier radio de bola abierta 2r en d ^ w contiene un radio de bola abierto r en d ^ p, por lo que todos los conjuntos abiertos debajo de d ^ w también están abiertos debajo de d ^ p.
Las dos métricas definen topologías equivalentes, por lo que son iguales.
